延拓的Ricci流下具有位能的热方程的Harnack估计

考虑度量满足延拓的Ricci流的紧致的n维黎曼流形,给出一个带有位势项的热方程的Harnack估计及其应用,从而推广了前人对Ricci流和List流的研究结果.

带权流形上热方程的Harnack估计

利用两种不同的方法讨论了带权流形上热方程和Schr(?)dinger方程解的Harnack估计,先利用最大模原理证明热方程解的梯度估计,从而得到解的Harnack估计,另外利用算子半群的方法证明位势函数为常数的Schr(?)dinger方程解的Harnack估计.

一类紧致Khler流形上的Harnack估计

给出了一些紧致Khler流形上具有和时间相关的位势热方程的正解的Hanack估计.作为应用,得到了两个Khler-Ricci流下具有非负双截面曲率的单调熵.

流形上的微分Harnack估计

本文着重研究Khler流形上Hodge Laplace热方程(p,p)形式解的Harnack估计.在Khler流形上,定义了一族新的曲率锥Cp.不仅得到曲率条件Cp在Khler-Ricci流下是保持不变的,而且也证明了在此条件下Hodge Laplace热方程解的正性是保持的.对于给定的Khler流形,如果它的曲率算子满足Cp条件,那么Hodge Laplace热方程(p,p)形式的正解满足一族最优的微分Harnack估计;而对于一族Khler流形,如果它们满足Khler-Ricci流方程且对应的曲率算子都满足Cp条件,可以证明此时的Hodge Laplace热方程的正解也满足一族微分Harnack估计.本文还引入了r-正形式,并且将Hodge Laplace热方程正形式解满足的性质推广到了r-正形式解.类似地,给定一个Riemann流形,也可以定义新的曲率锥Cp,它在Ricci流下保持不变.本文还分别得到了在曲率条件Cp和Cp下曲率算子满足的微分Harnack估计.

完备Khler流形上Khler-Ricci流的局部Harnack估计

本文首先给出非正规化Khler-Ricci流下曲率的发展方程,然后得到了关于曲率的Harnack量在满足曲率局部条件下所产生的一个特殊项CNS.通过对CNS的估计,得到了完备Khler流形上关于Khler-Ricci流的局部Harnack不等式.最后,作为主要定理的应用,我们将结果推广到数量曲率的情形.

H^k流的微分Harnack估计

对k>0,得到了在R^(n+1)中的H^k流的解的微分Harnack估计.应用这个估计,得到了关于H^k-流迁移孤立子的一些性质.

非紧流形上抛物方程的椭圆型梯度估计

给出完备非紧黎曼流形M上的抛物方程ut=△u+Xu+hu的正解的全局梯度估计,该估计与M的维数n无关.这里X是任意非零C 1向量场;h是定义在M×(0,+∞)上的非负函数,对于自变量x是C 1函数.作为应用,我们将给出该方程的解的Harnack估计.