系综平均意义下的Hellmann-Feynman定理

本文将仅适用于纯态平均的Hellmann-Feynman定理推广到系综平均意义下的情况,并给出了其应用实例.

改进的Mertens第一定理估计及应用

在Mertens第一定理的基础上,利用定积分估计的主要思想和Stirling’s公式的估计,对Mertens第一定理中的估计不等式进行了进一步的精确化,得到了更好的估计。改进的估计结果比原来的Mertens第一定理中的估计更加精确。把改进的Mertens第一定理估计应用到一个具体的渐近公式中,提高了该渐近公式中Landau记号里对应常数的精度范围。

基于中国剩余定理的NFC安全认证算法

针对近场通信技术在应用中出现的安全隐患问题,给出一种基于中国剩余定理的算法。算法利用中国剩余定理实现对传送信息进行加密,中国剩余定理基于数学中大素数分解难题,使得攻击者无法进行破解;所有信息加密过程中混入随机数,用于保证消息的新鲜性;算法在进行信息更新时采用伪随机函数计算,因伪随机函数具备的单向性,使得攻击者无法分析出有用隐私信息。将不同算法对比安全分析,表明该算法能够抵抗重放攻击、异步攻击等多种攻击。通过性能角度及仿真实验对多个算法进行分析,结果表明该算法计算时间复杂度低于其他算法。

基于S-R和分解定理的二维几何非线性问题的虚单元法求解

应变-旋转(Strain-Rotation,S-R)和分解定理为分析几何非线性问题提供了合理可靠的理论基础,但用有限元求解时会遇到大变形发生后的网格畸变问题。近年提出的虚单元法(Virtual element method,VEM)适用于一般的多边形网格,因此,该文尝试使用一阶虚单元求解基于S-R和分解定理的二维几何非线性问题,以克服网格畸变的影响。基于重新定义的多项式位移空间基函数,推演获得一阶虚单元分析线弹性力学问题时允许位移空间向多项式位移空间的投影表达式;按照虚单元法双线性格式的计算规则,分析处理基于更新拖带坐标法和势能率原理的增量变分方程;进而建立离散系统方程及其矩阵表达形式,并编制MATLAB求解程序;采用常规多边形网格和畸变网格,应用该文算法分析均布荷载下的悬臂梁和均匀内压下的厚壁圆筒变形。结果与已有文献和ANSYS软件的对比表明:该文算法在两种网格中均可有效执行且具备足够数值精度。总体该文算法为基于S-R和分解定理的二维几何非线性问题求解提供了一种鲁棒方法。

一个新的积分第二中值定理

在加强了假设条件的基础上,得到了一个新的积分第二中值定理.与原定理相比较,新的定理具有明显的几何意义,更富有数学美感.另外,说明了不同形式的积分第二中值定理的相互等价性.

数学史视角下正弦定理的证明

正弦定理是平面几何学的基本定理,文章从不同角度出发,按数学史时间的顺序,介绍16种证明方法,从最初的同径法到外接圆法,再到近现代的各种巧妙证法,从不同的证明方法中回顾正弦定理的发展史,通过对不同方法的分析比较,展现数学知识之间的联系,体现数学的美.

从罗尔定理到山路定理

山路定理是现代临界点理论的标志性结果,它是证明非线性椭圆型偏微分方程有解的重要工具。本文旨在研究有限维山路定理的初等证明以及有限维山路定理与微积分之间的关系。再在此基础上,给出山路定理的应用实例。本文从教学实际出发,为学生进入研究生阶段理解非线性分析中的重要定理提供有益帮助。

广义Birkhoff系统分数阶最优控制问题的Noether定理

探讨了广义Birkhoff系统分数阶最优控制问题的Noether定理。首先,基于Caputo分数阶导数提出广义Birkhoff系统的分数阶最优控制问题,并运用分数阶变分方法得到了广义Birkhoff系统的分数阶最优控制问题的极值条件。然后,运用分数阶微积分和分数阶变分方法讨论了泛函在无穷小变换群作用下的不变性,分别给出了其时间不变和时间变化情况下的分数阶最优控制问题的Noether定理。最后,应用实例显示方法的有效性。

集合论、笛卡尔乘积和多项式定理在生命表研究中的应用:以取食玉米粒和茶树叶片的棉铃虫生命表为例

【目的】自我重复取样技术(bootstrap technique)广泛用于计算生命表各参数的方差、标准误和置信区间(confidence interval),而配对自我重复取样检验(paired bootstrap test,PBT)则用于检测处理间的生命表参数差异。本研究以取食玉米粒和茶树叶片的棉铃虫Helicoverpa armigera生命表为例,进一步解释集合论、笛卡尔乘积和多项式定理在害虫种群生物学研究中的应用。【方法】利用年龄-龄期两性生命表对取食玉米粒和茶树叶片的棉铃虫种群参数进行分析,利用集合论、笛卡尔乘积和多项式定理将种群统计分析以明确数学的方法呈现,以检测所有可能的自我重复取样样本、精确计算种群参数置信区间以及处理之间差异的置信区间,计算可育和不育样本的概率。【结果】取食茶树叶片的棉铃虫其成虫前期存活率、内禀增长率(r)、周限增长率(λ)、净增殖率(R_(0))、平均世代周期(T)均显著低于取食玉米粒的,说明茶树叶片不是棉铃虫的适宜寄主植物。因取食茶树叶片棉铃虫种群不育样本数较多,利用bootstrap重复取样接受可育与不育样本时,其结果与不用bootstrap技术计算的差异小于5%;若取样时仅接受可育样本,结果与原数值差异显著,误差较大(>5%)。使用笛卡尔配对检验(Cartesian paired test,CPT)比较取食两种食物的棉铃虫种群的R0的差异时,可计算两种处理bootstrap抽样结果所有可能差异的精确置信区间,而使用自我重复取样检验通常会导致置信区间的估值过高或过低,尤其是自我重复取样数较小时。多项式定理可以揭示可育和不育样本的自我重复取样结果。自我重复取样抽样记录必须保留,以便在后续分析中进一步应用。【结论】本研究进一步明确了两性生命表理论的数学基础,也为昆虫学研究中的生命表技术的应用提供数学支撑。

非保守广义Chaplygin系统的Herglotz型Noether定理

Herglotz原理是非保守系统的变分原理,它是经典Hamilton原理的一个推广.在非保守情形,现有推广形式的Hamilton原理尽管也可导出运动方程,但实际上不再是变分原理.Noether定理是分析力学的一个基本原理,它阐明了对称性和守恒律的相关性,利用Noether定理可找到比牛顿力学和分析力学更多的守恒律.Chaplygin系统是一类特殊而又应用广泛的非完整系统,其方程可独立于约束方程进行研究.非保守广义Chaplygin系统则是Chaplygin系统对非保守力学的推广,因此研究建立该系统的Herglotz型Noether定理具有重要意义.文章针对非完整约束系统,提出基于Herglotz原理建立非保守广义Chaplygin系统的动力学方程,利用变分关系以及虚位移的Chetaev条件,从关于Hamilton-Herglotz作用量的微分方程出发推导建立其全变分方程并求解,由此导出非保守广义Chaplygin系统的作用量的全变分.给出Herglotz型Noether对称变换及准对称变换的定义,在此基础上利用全变分公式导出其判据(Noether等式),建立并证明非保守广义Chaplygin系统Herglotz形式的Noether定理,得到新型守恒量.最后,针对两个具体的非保守非完整系统,建立了它们的Herglotz型广义Chaplygin方程、判据方程和Chetaev条件,解出生成元,由文中所得定理找到了系统的守恒量,验证了结果的有效性.

浅谈安培环路定理的使用

通过应用安培环路定理求解了有限长载流直导线的磁感应强度,说明了“有限长度”的数学条件和物理背景.从麦克斯韦方程的积分形式和微分形式,讨论了安培环路定理的使用场景,阐明了非对称电流密度分布情况下求解稳恒磁场的基本思想——边界条件确定磁场,并拓展至应用高斯定理求解非对称电荷密度分布静电场问题.

“从爱因斯坦质能关系式推出勾股定理”之荒谬

一本数学教科书提出并“证明”勾股定理可以用爱因斯坦质能关系式推导出来。教科书的编写者混淆了爱因斯坦少年时对勾股定理的简洁而睿智的纯数学推导,与多年后提出的著名的物理大发现——质能关系式。科学和教育界类似的荒谬贻害深远,必须予以澄清。

边加权有限图的Weil-Riemann-Roch定理

Riemann-Roch定理是数学中的一个重要结论,并有了广泛的应用。在有限图和边加权有限图等图中也有对应的Riemann-Roch定理以及应用,但所有这些工作都有一个共同点,那就是它们都聚焦于在除子或和除子线性等价的线丛的情况下,也就是秩为1的情况。为了得到高维秩的情形,可以借助多重除子的术语来描述。本文利用还原群GLn的root datum的概念给出了边加权有限图上主GLn-丛——向量丛的定义,并用多重除子的术语来描述向量丛,进而给出了边加权有限图的Weil-Riemann-Roch定理以及证明,推广了GROSS A.ULIRSCH M.和ZAKHAROV D的结果。

柯西中值定理的证明及其应用探索

为促进高职学生深入理解柯西中值定理的内容及应用,探索了两种证明柯西中值定理的方法,并阐释了三个中值定理之间的关系.介绍了柯西中值定理在等式证明、不等式证明、函数单调性判断及极限计算中的应用,并进一步应用柯西中值定理证明了洛必达法则、积分中值定理及泰勒定理.对柯西中值定理的证明、内涵及其在解题中的应用进行探索,为微分中值定理的学习和应用提供参考.

由Chvátal定理引出的关于一些无穷可分分布的概率函数的下确界

受Chvátal定理的启发,本文研究了概率P(X≤κE[X])的下确界,其中κ是一个正实数, X是一个随机变量.利用分析的方法,我们得到了当随机变量的分布属于无穷可分分布,包括逆高斯分布,对数正态分布, Gumble分布和Logistic分布,时该随机变量不超过其期望的概率的下确界.

拉格朗日中值定理的应用及推广

在教学过程中,我们发现拉格朗日中值定理是学生学习微积分的巨大障碍,这是因为拉格朗日中值定理是微分中值定理的核心内容,是研究函数与导数之间联系的理论工具,在微积分学中起着至关重要的作用,应用十分广泛。本文重点研究拉格朗日中值定理在证明导数极限定理、求函数极限问题、证明不等式以及证明函数单调性方面的应用,以及拉格朗日中值定理的两个推广。希望本文可以对学生学习微积分有所帮助。During the teaching process, we found that the Lagrange Mean Value Theorem is a significant obstacle for students learning calculus. The Lagrange Mean Value Theorem is the core content of the Mean Value Theorem in differential calculus. It is a theoretical tool for studying the relationship between functions and their derivatives and plays a crucial role in calculus, with a wide range of applications. This paper focuses on the application of the Lagrange Mean Value Theorem in proving the derivative limit theorem, solving limit problems of functions, proving inequalities, and proving the monotonicity of functions, as well as two extensions of the Lagrange Mean Value Theorem. It is hoped that this article can be of assistance to students in their study of calculus.

高等数学中泰勒中值定理及拓展应用

泰勒中值定理及其对应的泰勒公式是微分学的重点内容,也是教学难点。在高等数学课程中,泰勒公式主要用于求解未定式的极限,近似计算以及证明某些与中值问题有关的结论。本文主要探讨泰勒公式的思想方法,利用泰勒中值定理证明曲线的凹凸性判定定理,中值问题,以及求解微分方程等拓展应用。

翻转课堂教学模式的课中教学设计研究——以牵连运动是定轴转动的加速度合成定理为例

翻转课堂教学模式是目前教学改革的重要方向之一,其核心在于将学习过程的主动权交给学生,使他们能够在课堂之外自主掌握基础知识,而课堂时间则用于更高层次的认知活动。课前学习、课中教学和课后拓展相互关联共同构成一个翻转课堂教学模式的闭环。课中教学是翻转课堂教学过程中至关重要的一环,课中教学的目标是通过互动和实践活动来巩固和深化学生的理解,以及提高他们的批判性思维和问题解决能力。在《理论力学》中,运动学部分牵连运动以定轴转动的加速度合成定理为教学案例,探索翻转课堂课中教学设计的实施途径。

正弦、余弦定理的基本应用知多少

我们知道,正弦定理与余弦定理的基本功能是解三角形,那么这两个定理有哪些基本应用呢?我们一起来盘点。

基于Multisim的最大功率传输定理教学研究

最大功率传输定理研究负载阻值变化对电源传输给负载的功率产生的影响,在工程上具有非常重要的实践意义。本文应用电路仿真软件Multisim中的参数扫描法探究负载获得最大功率的条件,再辅以严密的数学推导佐证实验结果,使学生在理解最大功率传输意义的同时掌握一种优化设计电路的方法—参数扫描法。