同构于三阶及四阶Hessain的两个变元的C~∞函数芽

设En是在0∈Rn的C∞函数芽环，M是En中唯一的极大理想．如果f∈M2且其二阶Hessain是非退化的，则f同构于它的二阶Hessain是非退化的，则f同构于它的二阶Hessain，这就是著名的Morse引理．本文将讨论两个变元的C∞函数芽，得到：（1）若f∈M3Exy，且其三阶Hessain是非退化的，则f同构于它的三阶Hessain．（2）若f∈MEXy，其四阶Hessain是非退化的，则f同构于它的四阶Hessain．显然，这是Morse引理的一种推广．

Morse引理的进一步推广

设En是0∈R^n的C^∞函数环，M是En中唯一的极大理想，如果f∈M^2，其二阶Hessain是非退化 ，则f同构于其二阶Hessain，这就是著名的Morse引理。本节将讨论两个变元 的C^∞函数芽。得到：（1）若f∈M^2k+1包含于Exy，其中2k+1阶Hessain是非退化的，在一般情况下不会同构于它的2K+1阶Hessaibn，但给f加上一定条件后，则f同构于它的2K+1阶Hessain。（2）若f∈M^2k+2包含于Exy,其2k+2阶Hessain是非退化的，在一般情况下f不会同构于它的2k+2阶Hessain，但给f加上一定条件后，f同构于它的2k+2阶Hessain，其中k∈N。当k=1时，就是参考文献^[2]的结论，这在某种意义上来说是他的结论的进一步推广。

Morse引理的一个推广

设Ｅｎ是在０∈Ｒ~ｎ的Ｃ函数芽环，Ｍ是Ｅ_ｎ中唯一的极大理想．如果ｆ∈Ｍ~２且其二阶Ｈｅｓｓａｉｎ是非退化的，则ｆ同构于它的二阶Ｈｅｓｓａｉｎ，这就是著名的Ｍｏｒｓｅ引理，本文将讨论两个变元的Ｃ~∞函数芽，得到：（１）若ｆ∈Ｍ~３∈Ｅ_(ｘｙ)，且其三阶Ｈｅｓｓａｉｎ是非退化的，则ｆ同构于它的三阶Ｈｅｓｓａｉｎ。 （２）若ｆ∈Ｍ_４∈Ｅ_(ｘｙ)，其四阶Ｈｅｓｓａｉｎ是非退化的，则ｆ同构于它的四阶Ｈｅｓｓａｉｎ．显然，这是Ｍｏｒｓｅ引理的一种推广．

关于Morse引理的推广(英文)

Morse Lemma是奇点理论中一个极为重要的结论。[1]的作者称其文中的定理1和定理2是Morse Lemma的推广。为此我们愿就[1]中的几个问题与[1]的作者商榷。