Hessian流形上两个特殊泛函的Euler-Lagrange方程

本文主要研究Hessian几何上Koszul形式和泛函变分问题。首先给出Hessian几何中Hessian结构、Koszul形式、Hessian曲率概念及相关性质,然后在Hessian流形上计算了Hessian曲率Q、第二Koszul形式β及Tr(β)的变分,最后计算了两个特殊泛函的Euler-Lagrange方程。

非负常仿射平均曲率的完备二维Hessian流形

设M为完备、连通、定向的二维Hessian流形,若M的仿射平均曲率为非负常数,则M等距于E2/Γ,Γ为自由,纯不连续作用在E2上的等距离散子群.

仿射Kähler-Scalar曲率为零的紧致仿射Kähler流形

设x:M→A^(n+1)是由定义在凸域ΩA^n上的某局部严格凸函数x_(n+1)=f(x_1,...,x_n)给出的超曲面.考虑Hessian度量g=∑~2f /x_i_jdx_idx_j.若(M,g)是具有0仿射Khler-Scalar曲率的2维紧致Hessian流形,则函数f一定是二次多项式.

仿射Khler-Scalar曲率为零的仿射Khler流形

设x:M→An+1是由定义在凸域ΩAn上的某局部严格凸函数xn+1=f(x1,...,xn)给出的超曲面.考虑Hessian度量 g =∑2fxixjdxidxj.若(M,g)是具有非负李奇曲率的紧致Hessian流形且仿射Khler-Scalar曲率为零,作者证明了如果Δρ≤nρ2,则函数f一定是二次多项式,其中ρ=[det(fij)]-1n+2.

超曲面Calabi几何的体积变分及稳定性

首先给出了参数化超曲面在Calabi法化下的几何结构。证明了一般参数化超曲面的Calabi几何均可局部描述为凸函数的图的典型Calabi几何,并证明Hessian流形可局部表示为凸函数的图的典型Calabi几何。对于参数化超曲面,建立了Calabi几何的体积第一变分公式和第二变分公式。作为推论,证明了2维Gauss曲率非正的极值Calabi曲面是稳定的,并且仿射面积泛函在这类曲面取得极大值。