球极投影下的Hopf纤维化

Hopf纤维化是代数拓扑中经典的构造.它在理论物理学方面的应用十分广泛.例如:1-1共振(The One-to-one Resonance)、刚体的运动、磁单极子的势场、两态量子系统的Bloch球面(Bloch Sphere)表示、广义相对论里Taub-NUT空间的全局结构以及庞加莱群(覆盖群的)的零质量螺旋度表示等.为了理解此构造,本文通过球极投影给出了Hopf纤维化的几何直观.并且在此基础上利用计算机软件画出了部分的Hopf纤维化.此外,由于在文献[1]中Thurston给出了Hopf纤维化的诸多结论,但缺少证明.本文给出了相关结论的详细证明.

Hopf纤维上的次椭圆调和映射

研究由Hopf纤维诱导的次椭圆调和映射,证明次椭圆调和映射的存在性和不存在性。

次椭圆算子的第一特征值问题

本文基于三维球面的Hopf纤维定义球面上的次椭圆算子 ,研究其第一非零问题 ,得到次椭圆算子的第一非零特征值λ1 =2 ,因此有最佳Poincar啨不等式 .∫S3 ｜u- u｜2 dσ≤ 12 ∫S3 ｜ Hu｜2 dσ.

S^3亚椭圆算子的谱

本文研究了与紧流形S3上的与Hopf纤维丛相联系的亚椭圆算子的谱.利用球调和函数的直和分解,得到了亚椭圆算子的谱和每个特征值所对应的特征空间及其维数.

关于调和同态的一个Bernstein型定理

设φ:M→N是Riemann流形间的光滑映照。如果φ将N上调和函数芽拉回到M上的调和函数芽,则称φ为调和同态。调和同态等价于水平弱共形调和映照。研究调和同态的文章已越来越多,尤其在低维流形情形(参见文献[3～7])。在文献[4]中,Baird和Wood证得:(ⅰ)任何从三维球面(S^3,g_(can))到一Riemann曲面N^2的非常值调和同态必为Hopf纤维化π:S^3→S^2与一个弱共形映照的复合。特别地,N^2=S^2。(ⅱ)任何从R^3到N^2的非常值调和同态是正交投影R^3→R^2与一个弱共形映照的复合。本文希望将此结果推广到高维。