从一道课本例题谈矩阵求逆

对一道分块矩阵求逆的课本习题,给出一种简便的新解法,进一步拓展,得到几个重要的矩阵和式求逆公式.总结矩阵求逆的常用理论方法,帮助学生全方位掌握矩阵求逆技巧.

矩阵最高阶非零子式的精确定位法

该文对矩阵的最高阶非零子式进行了探讨,分析了在初等行变换下,矩阵的最高阶非零子式如何变化,进而给出了寻找最高阶非零子式的一种普适算法。从矩阵秩的定义出发,利用初等行变换把一个矩阵化成行阶梯形矩阵;根据行阶梯形矩阵,可以看出原矩阵的最高阶非零子式所在的大致位置;再利用初等行变换的逆变换,逐步定位出原矩阵的最高阶非零子式的精确位置。

矩阵的分块初等变换在求秩中的应用

利用分块矩阵的初等变换和分块初等矩阵证明了分块矩阵秩的一些性质,结合几道全国研究生入学考试线性代数试题,讨论了分块矩阵的初等变换在矩阵秩中的应用,并对相关结果作了推广。

分块矩阵的群逆

本文得到了分块矩阵群逆的几个新结果.

矩阵秩概念开发上的一个更简洁更干净的处理

矩阵秩概念的通常开发,无论是"几何"的,还是代数的,其关键步骤不易理解,这里指的不是理论上的理解,而是指获取"矩阵的行秩等于其列秩"的直观感。文章相对于"元向量组在涉及向量的初等变换下其秩不变"的事实,平行地建立了"元向量组在涉及分量的初等变换下其秩不变"的事实,从而给出了矩阵秩概念开发上的关键步骤(行秩等于列秩)的一个简洁的处理。

三类分块矩阵的群逆

设Cm×n为复数域上m×n阵的集合.如果A∈Cn×n,则称满足如下条件AXA=AXAX=XAX=XA的矩阵X为A的群逆,记为A#.它若存在则是唯一的.给出了一些特殊形式的分块矩阵群逆存在的充分必要条件及其具体表达式.

关于任意三矩阵秩的一点注记

设A、B、C为任意给定的m×n、n×m、m×n矩阵,本文构造了一种特殊形式的矩阵。通过对此矩阵的初等变换,得到这三个矩阵秩之间的某些关系,并讨论了它的几个较有意义的用例。

矩阵方程A_(m×n)X_(n×p)=B_(m×p)的一种分块矩阵解法

利用分块矩阵的运算和矩阵的初等变换给出了矩阵方程Am×nXn×p=Bm×p解的存在性、解的结构,以及求解的一种方法.同时指出该方法对求解线性方程组Am×nx=b也完全适用.

两类循环矩阵求逆的简便算法

利用多项式矩阵的初等行变换给出的r-循环矩阵和对称r-循环矩阵求逆的简便算法.

三对角矩阵求逆问题的思考——从一道课本习题谈起

矩阵求逆是矩阵代数中的一个重要运算,逆矩阵的获得却困难重重.文中介绍一个三对角形矩阵求逆的新思路,它可以作为求解逆矩阵问题的一个“解题模块”,学习线性代数课程的一个“认知结构”,也可以作为教育数学的一个案例.

矩阵“打洞”法及其应用

将矩阵的初等变换推广到对分块矩阵施行初等变换,华罗庚教授形象地称此方法为矩阵"打洞".矩阵"打洞"法在矩阵计算和证明中起着重要的作用.举例说明矩阵"打洞"法在计算行列式和矩阵求逆中的应用.

求广义逆矩阵A^-的初等变换法

利用矩阵的初等变换得到了求广义逆矩阵 A- 的一种新方法 ,方法简单 。

初等矩阵的探析

从向量空间基的角度来探析三类初等矩阵,把一个初等矩阵理解成由自然基到一个特殊类型基的过渡矩阵,并通过一个正方体图形在三类初等线性变换下的变化来展示三类坐标变换的效果,然后通过对基的初等变换来求矩阵的逆.

反循环矩阵求逆的同步算法

反循环矩阵是一种特殊的矩阵,在其可逆的情况下,本文给出了一种求逆矩阵简单易行的办法。只需利用初等变化把Aξ_0化成单位矩阵I,元素列为-ξ_i、-ξ_(i+1)、…、-ξ_(n-1)、ξ_0、…、ξ_(i-1)的反循环矩阵Aξ_1(1≤i≤n-1)的逆可同步算出,并给出了数值算法和例子验证定理的正确性。

“矩阵乘法”课堂教学研究

理解线性方程组及矩阵的初等行变换对掌握线性代数核心思想和概念至关重要.课堂教学中,首先介绍矩阵左乘列向量的规则并引入线性方程组的矩阵记号,其次介绍具有相同系数矩阵的线性方程组的矩阵记法,在此基础上引入矩阵的乘法及矩阵求逆的初等变换法.实践表明,这样的安排具有比较好的教学效果.

可逆矩阵的初等变换对其逆矩阵的影响

通过伴随矩阵和初等矩阵的理论,推导当可逆矩阵做初等变换时,其逆矩阵的变化规律.

矩阵的初等变换在《线性代数》中的应用

文章总结了初等变换在求矩阵的秩、向量组的秩、逆矩阵,求解线性方程组和多项式的最大公因式等方面的应用,并通过实例加以说明,进而介绍了广义初等变换的思想方法和应用。

矩阵乘积AB与BA的关系及性质

由于矩阵的乘法运算不满足交换律,因此对矩阵A,B而言,在一般情形下,AB≠BA.通过对矩阵乘法的深入研究,利用分块乘法的初等变换,讨论了矩阵A,B的特征多项式之间、特征值之间、特征矩阵的秩之间等的关系,并进一步地得到矩阵乘积AB与BA的一些性质,所得结果是矩阵理论的补充和推广.

矩阵Schur补的基本性质

利用分块初等变换与分块初等矩阵的对应关系,讨论Schur补的行列式、逆,以及特征多项式等性质。

关于除环上分块矩阵的Marsaglia-Styan秩公式的注记

指出已有文献中的除环上2×2分块矩阵ABC:D的Marsaglia-Styan秩公式和数域上的表达形式是相同的,即其表达式中三处出现的A的:1:-广义逆都是相同的。应用除环上的初等变换的方法,证明了分块矩阵的Marsaglia-Styan秩公式的表达式中的三处也可以选择不同的A的:1:-广义逆。