g(x)-J-clean环

设R是环,J(R)和C(R)分别表示R的Jacobson根与中心,g(x)∈C(R)[x]为一给定多项式.称R为g(x)-J-clean环,如果任何r∈R可表为r=s+j,其中j∈J(R)且g(s)=0.给出g(x)-J-clean环的基本性质,并给出一些J-clean环的等价刻画,考察(x3-x)-clean环与弱clean环的关系,也证明(xn-1)-J*-clean环就是有限域.

强J-clean环的推广

作为强J-clean环的推广,本文引入强J~#-clean环的概念,将强J-clean环的性质推广到强J~#-clean环上.设R为环,主要得到了:(1)a,b∈R.若ab是强J~#-clean元,则ba也是强J~#-clean元;(2)a∈R是强J~#-clean元当且仅当a是强clean元且a-a2∈J~#(R);(3)f2=f∈R,a∈fRf是R中的强J~#-clean元当且仅当a是环fRf中的强J~#-clean元.

关于J-clean环（英文）

一个环R叫做J-clean环,如果R中的每一个元素都可以写成a=e+j的形式,其中e是幂等元,j属于Jacobson根,文章探究了J-clean环的各种性质和Morita contexts,证明了环R是J-clean当且仅当R是clean环和R/J(R)是布尔环;环R是J-clean当且仅当R[[x_1,…,x_n]],R(M),R[[x]]和R∝M是J-clean,每个J-clean环R是右(左)quasi-duo环.更多的,当R:=(A M/N B)是一个Morita context,则R是J-clean环当且仅当A,B是J-clean环并且MN■J(A)和NM■J(B);当R是一个环且s∈C(R),则S=K_s(R)是J-clean当且仅当R是J-clean且s∈J(R);当R是一个环且s∈C(R),则M_n(R;s)是J-clean当且仅当R是J-clean和s∈J(R).

关于Weakly J-Clean环（英文）

一个环R叫做weakly J-clean环,如果R中的每一个元素都可以写成a=e+j或a=-e+j的形式,其中e是幂等元,j属于Jacobson根.文章探究了weakly J-clean环的各种性质,证明了R是weakly J-clean环当且仅当R是clean环并且R/J(R)是弱布尔环,当且仅当R/6R是weakly J-clean环且幂等元关于J(R)可以提升.一个环R是唯一weakly nil clean环当且仅当R是阿贝尔环;J(R)是幂零的并且R是weakly J-clean环.每个weakly J-clean环R是右(左)quasi-duo环.并进一步证明以下几点是等价的:R是J-clean环;存在一个大于等于1的整数n,使得Tn(R)是J-clean环;存在一个大于等于2的整数n,使得Tn(R)是weakly J-clean环;存在一个大于等于2的整数n,使得×nR是weakly J-clean环.

关于Pseudo Weakly J-clean环（英文）

一个环R叫做pseudo weakly J-clean环,如果R中的每一个元素都可以写成a=e+w+(1-e)Ra或a=-e+w+(1-e)Ra的形式,其中e是幂等元,w属于Jacobson根.文章探究了pseudo weakly J-clean环的各种性质.环R是pseudo weakly J-clean环当且仅当幂级数环R[[x]],Hurwitz级数环H(R),平凡扩张T(R,M)和S(R,σ)分别是pseudo weakly J-clean环.更进一步证明以下几点是等价的:任意的n∈N,Sn(R)是pseudo J-clean;任意的n∈N,R[x]/(xn)是pseudo J-clean,(xn)是由xn生成的理想.特别的,阐述了在某种条件下S=R[D,C]是pseudo weakly J-clean;并且得出结论:当2是R中的可逆元时,R是pseudo J-clean当且仅当群环RC2是pseudo J-clean.

关于Unit J-clean环（英文）

一个元素叫做右单位J-clean(左单位J-clean)如果在R中存在一个单位u,使得au(ua)是J-clean的.一个环R叫做右单位J-clean(左单位J-clean)环当且仅当环中的每个元素都是右单位J-clean(左单位J-clean)的.文章得到了以下几个结论:每个J-clean环是unit J-clean环,每个unit J-clean环是unit clean环,每个2-good环是unit clean环,但是以上三个结论反过来就不正确.文章还证明了一个unit J-clean环,那么它是2-good环当且仅当1能表示成两个单位的和.当R是一个阿贝尔环,I是一个R的包含在Jacobson根里的理想,那么R是unit J-clean环当且仅当(1)R/I是unit J-clean的.(2)幂等元关于J(R)可提升.

拟J-clean环

通过拟幂等元引进拟J-clean环的概念,给出拟J-clean环的若干例子,讨论了它们的基本性质。证明了:(1)若R是拟J-clean环,则全矩阵环Mn(R)是拟J-clean环;(2)一个环R是UJ-环,当且仅当R中的拟clean元都是拟J-clean元;(3)设R是一个交换环,则R是拟J-clean环的充分必要条件是若I是R的包含于J(R)的理想且使得R/I是不可分解环,则R/I=J(R/I)∪U(R/I)。

强g(x)-J-Clean环

介绍了强g(x)-J-clean环的概念。说明了强J-clean环是强x(x-1)-J-clean环。给出了强g(x)-J-clean环以及强J-clean环的一些等价刻画。同时证明了强(xn-x)-J-clean环是直有限的且有稳定秩1(n≥2)。

J-clean环的推广

如果R中每个元素(对应地,可逆元)均可表示为一个幂等元与环R的Jacobson根中一个元素之和,则称环R是J-clean环(对应地,UJ环).所有的J-clean环都是UJ环.作为UJ环的真推广,本文引入GUJ环的概念,研究GUJ环的基本性质和应用.进一步地,研究每个元素均可表示为一个幂等元与一个方幂属于环的Jacobson根的元素之和的环.

强J-quasi-clean环

该文引入了强J-quasi-clean环,并证明了强J-clean环是强J-quasi-clean环,而强J-quasi-clean环是强拟clean环,反过来都是不成立的;还证明了环R是强J-quasi-clean的当且仅当R/J(R)是拟Boole环且其每个拟幂等元都能强提升;最后指出强J-quasi-clean环是左(右)quasi-duo环.

强J^(1/2)-clean环

定义了环R的一个子集,记做J(R)(12)={a∈R|a2∈J(R)}.称环R中的一个元素a是强J12-clean元,如果存在一个幂等元e∈R和一个元素w∈J(R)(1/2)使得a=e+w且ew=we.如果环R中每个元素都是强J12-clean元,称环R是强J12-clean环.文章研究了强J12-clean环的一些性质和局部环上矩阵环的强J12-clean性.

JR-clean环

引入了(强)JR-clean环的概念.说明了JR-clean环是J-clean环的真推广.研究了(强)JRclean环的一些基本性质以及扩张,同时讨论了(强)JR-clean环与一些特殊环之间的关系.

强 g( x)-J^#-clean 环

引入了强g(x)-J^#-clean环的概念,得到了强g(x)-J^#-clean环的若干性质,并借助于强g(x)-J^#-clean环给出了强J^#-clean环的刻画。

JGR-clean环

引入了(强)JGR-clean环的概念。说明了JGR-clean环是J-clean环的真推广,研究了(强)JGR-clean环的一些基本性质以及扩张,同时讨论了(强)JGR-clean环与一些特殊环之间的关系。