关于Jacobi猜想的一些结果

建立了一个与Ｊａｃｏｂｉ猜想等价的猜想，通过研究一类特殊的多项式，证明了Ｊａｃｏｂｉ猜想在几种特殊的情况下成立。

四元数形式的Jacobi猜想

从超复分析的角度考虑Jacobi猜想,设P(w)=(p(1w),p(2w))是二维复空间到自身的多项式映射,研究四元数的左全纯多项式(fz1,z2,z3)=p(1w)+jp(2w),其中w=(x0+x1i,x2+x3i)和z1=x1-x0i,z2=x2-x0i,z3=x3-x0i。这显示了用四元数中的全纯函数的技巧处理Jacobi猜想是一条可能的途径。

二元二次Jacobi猜想的求逆公式

利用行列式的基本知识和计算技巧,给出了复数域上一次与二元二次Jacobi猜想的一个简明的求逆公式,验证了Abhyankar多元幂级数在上述情形下的形式求逆公式。

Jacobi猜想的逻辑化约

提出有关Jacobi猜想的两个命题:A.若Janobi猜想在有理数域Q上成立,则Jacobi猜想在代数域Q上成立.B.对每个正整数对(n,d),存在正整数f(n,d)使得:对每个素数p>f(n,d)及每个特征数p的域K,若多项式映射F:K^n→K^n适合degF≤d且detJ(F)=1,则F可逆.然后用模型论方法证明了定理:“命题A与B成立”等价干“Jacobi猜想对一切特征数0的域成立”.

全局渐近稳定性的Jacobi猜想的证明

设 ｆ∈ Ｃ１（Ｒ２，Ｒ２），ｊ（０）＝０．设 Ｄｆ（ｘ）为ｆ（ｘ）的 Ｊａｃｏｂｉ矩阵．Ｊａｃｏｂｉ猜想称：如果 ｘ∈Ｒ２，Ｄｆ（ｘ）的特征值都具有负实部，则微分方程ｘ＝ｆ（ｘ）的零解全局渐近稳定．本文证明此猜想成立．

全局渐近稳定性的Jacobi猜想的证明

设f∈C^1(R^2,R^2),f(o)=0.考虑平面微分方程x=f(x) (1)很久以来人们猜测:如果(?)x∈R^2,f的Jacobi矩阵Df(x)的特征值都具有负实部,则微分方程(1)的零解全局渐近稳定.在文献中,此猜想被称为Jacobi猜想或平面Markus-Yamabe猜想.1963年,Olech证明此猜想等价于f的全局单射性.1988年,Meisters和Olech证明,当f是多项式映射时,Jacobi猜想成立.1991年Gassull,Llibre和Sotomayor证明,当f是Khovansky函数(一类解析函数)时,Jacobi猜想成立.本文对一般情况证明了Jacobi猜想成立.1 预备知识设S^k(R^2,R^2)={f∈C^k(R^2,R^2)|(?)_x∈R^2,Df(x)是稳定矩阵},k=1,2,…, ∞ .设f∈S~∞(R^2,R^2),则(?)_x∈R^2,Lyapunov矩阵方程Df(x)G(x)十G(x)(Df(x))~T=-I_2 (2)有唯一正定解G(x),其中I_2为2×2单位阵.显然G∈C~∞(R^2,R^(2×2)).定义微分方程(?)y=G(y)ν,ν∈R^2, (3)y(0)=x,

Jacobi猜想:一种新的思考方法

本文旨在给出讨论Jacobi猜想的另一方法,在与R.G.Swan教授讨论的基础上我们证明Jacobi猜想与下述有限域上某种形式的Jacobi猜想等价,即:对每个配对(n,d),存在正整数f(n,d),使得对每个大于f(n,d)的素数p,每个多项式映射F:F_p^n→F_p^n,degJ(F)≤d,如果detJ(F)=1,则F是单射,然后应用有限域上射影几何理论将Jacobi猜想转化成有限域上线性代数问题。

Abhyankar反演公式的解析证明

以证明Jacobi猜想为重要目的,求出多项式映射的逆映射的具体形式,即Abhyankar反演公式,给出了求解多项式映射的逆的一个新思路。不同于该公式由Abhyankar以组合数学的方式给出的原证明,本文采用解析的方法给出了Abhyankar反演公式在二维情况下的一个新的证明。