Jensen不等式在数学问题求解中的应用探索

本文针对Jensen不等式及其在具体问题求解中的应用进行了分析.文章首先利用数形结合的方式对Jensen不等式的证明过程进行了整理分析.然后利用Jensen不等式在概率论中的表达形式,通过合理构建随机变量的分布,给出了Jensen不等式在证明不等式、方程组求解以及求最值问题中的应用.充分体现了Jensen不等式在求解相关问题中的优势,达到激发学生学习兴趣和创新应用的目的,同时也进一步丰富了Jensen不等式在数学问题求解中的应用领域.

一类反向的Jensen不等式(英文)

设f是区间I上的一个可微凸(凹)函数.如果对于每个t∈I,有f′(t)>0或f′(t)<0;且在I上1/f′(t)为凸或为凹,那么对于所有的pi>0和xi∈I(i=1,2,…,n)成立不等式f∑ni=1pixi∑ni=1pi≥(≤)∑ni=1pif(xi)f′(xi)∑ni=1pif′(xi) 还研究了等式成立的条件和若干相关的不等式.

r次幂平均s-凸函数及其Jensen型不等式

考虑了函数的凸性及其广义凸性,提出并研究了r次幂平均s-凸函数,讨论了它的若干判定定理及运算性质,建立了其Jensen型不等式,并给出了Jensen型不等式的等价形式及推论.研究结果表明,r次幂平均s-凸函数是算术凸函数(凸函数)、几何凸函数、调和凸函数、平方凸函数、调和平方凸函数以及r-平均凸函数的推广,为研究新的凸函数和推广拓展凸函数概念探索了一条新途径.

MM-凸函数及其Jensen型不等式

考虑函数的广义凸性问题,利用区间上的二元幂平均定义了MM-凸函数,讨论了MM-凸函数的若干判定定理及运算性质,建立了其Jensen型不等式,并给出了Jensen型不等式的等价形式及推论.结果表明,MM-凸函数是比较函数定义区间内任意两点的幂平均函数值与其函数值的幂平均大小所确定的各类凸函数的推广.MM-凸函数概念的引入,为深入研究凸函数和拓展凸函数概念探索了一条新途径.

最大模估计和一类Jensen不等式的应用

利用最大模估计方法给出了一类Jensen不等式的直接证明,并列举了这几个不等式的应用,给出了一些相关不等式的发展变化.

调和平方凸函数及其Jensen型不等式

基于对函数凸性的进一步考虑,给出了调和平方凸函数的概念、判定定理及其运算性质,建立了调和平方凸函数的Jensen型不等式.

代数函数的Jensen不等式的加细与推广

代数函数的Jensen不等式可表述为:设ai>0,i=1,2,…,n,r>1)(或r<1).则有(a1+a2+…an)r>(<)ar2+ar2+…+arn成立.本文作者将这个不等式进行了加强与推广,并将此结果用于Safta猜想的相关问题.

Holder连续函数空间的插值空间的不等式

考虑空间C^(m,λ)(Ω__)的完备性和所嵌入的空间的问题,对Jensen不等式给出了直接的证明方法,利用Jensen不等式给出了Holder连续函数的例子。指出当Ω是非凸集时空间C1(Ω__)不能嵌入空间C^(0,λ)(Ω__)。给出C(Ω__)和C^(0,λ)(Ω__)是Banach空间证明的具体表述过程,通过建立Holder连续函数空间的插值空间的不等式,给出了空间C^(0,μ)(Ω__)嵌入的空间的证明;在Ω是Rn中的有界开集条件下,应用Arzela-Ascoli定理给出了空间C^(0,μ)(Ω__)紧嵌入的空间的证明,对相关经典知识给予了新的改造表述。

一类齐次对称多项式上的Jensen不等式

著名的Jensen不等式可表述为:设函数f:I→R(I为给定的区间)为凸函数,如果x1,x2,…,xN∈I,那么有不等式:N-1.∑iN=1f(xi)≥f N-1.∑iN=1xi.借助于积和式及数学归纳法,将这个不等式推广到涉及m次齐次对称多项式的情形,由此获得了一个有趣的推论.

多元Jensen不等式及其应用

简明扼要地给出了多元凸函数的最一般概念,简化了Jensen加权不等式及Jensen积分不等式的证明,定理的证明方法采取了由特殊到一般的归纳证法,导出了某些特殊不等式作为其应用。

Jensen类一重积分不等式的改进

主要研究了一类Jensen一重积分不等式的改进问题.其中,所研究的积分不等式的被积函数为不含导数的二次型函数.首先,采用新的函数构造方法,对现有改进的该类型Jensen不等式给出了一种较为简洁的证明方法.然后,基于上述证明方法,结合自由矩阵思想和积分不等式计算技巧,得到一类含有自由矩阵的新的Jensen类一重积分不等式.最后,从理论上分析了该新不等式的有效性、可行性、优越性和具有更低的保守性.

MG－凸函数及其Jensen不等式

基于对凸性及其广义凸性的进一步考虑，提出了MG-凸函数的概念，研究了MG-凸函数的凸性特征，给出了MG-凸函数判定方法、运算性质，建立了关于MG-凸函数的离散型Jensen不等式，并指出几何凸函数、对数凸函数（AG-凸函数）、HG-凸函数都是其特殊形式。

Jensen类二重积分不等式的改进

对一类Jensen类二重积分不等式进行了改进,在改进的新不等式中,被积函数为含有导数的二次型函数.首先采用新的函数构造方法,给出了原有Jensen类不等式的较为简洁的证明.然后,基于上述证明方法,结合自由矩阵思想和积分运算技巧,得到新的Jensen类二重积分不等式.最后,从理论上分析了该新不等式的合理性、优越性和保守性.

关于Jensen不等式加强式的推广及应用

应用控制不等式理论建立了Jensen不等式加强式的一个推广形式.利用该结果建立了n维欧氏空间En中一类单形不等式.它们是已有结果的推广或补充.

GH-凸函数及其Jensen型不等式

给出GH-凸函数的定义及其判定定理,建立关于GH-凸函数的Jensen不等式,并给出它的应用.

Jensen不等式的几个推论及其应用

本文以Jensen不等式为基础不等式,并以此推出它的三个推论,这三个推论都具有广泛地应用价值.本文给出了应用这三个推论来推证几个特殊不等式的方法.

Jensen-Peari-Svrtan型不等式

借助于优超理论,在适当的假设下建立了如下的Jensen-Peari-Svrtan型不等式,这里,A(.)表示算术平均.

MH-凸函数及其Jensen型不等式

针对调和凸函数,GH-凸函数,AH-凸函数的推广问题,提出了MH-凸函数的概念,通过进一步研究MH-凸函数的凸性特征,给出了MH-凸函数的判定定理和相关性质,建立了关于MH-凸函数的Jensen型不等式.

关于P-凸函数的积分型Jensen不等式

基于P-凸函数的函数凸性,研究了P-凸函数的Jensen型不等式的积分形式,通过定积分的定义计算,得到了P-凸函数的积分型Jensen不等式;利用P-凸函数的一个充要条件,建立了P-凸函数的积分型Jensen不等式的加权形式.

HM-凸函数及其Jensen型不等式

凸函数是一类特殊的函数,随着其在应用上的不可替代性作用的逐渐显现,近年来,关于凸函数的研究已成为一个备受关注的热点,不同种类的凸函数概念被不断提出,尤其是基于区间上的二元幂平均确定的凸函数。考虑由区间上的算术平均、几何平均、调和平均所确定的调和凸函数、HG-凸函数、HA-凸函数等凸函数的推广问题,定义了HM-凸函数;通过对HM-凸函数的凸性特征的系统研究,讨论了HM-凸函数的判定方法并给出了相应的判定定理;分析了HM-凸函数的凸性特点,得到了若干凸性性质。在此基础上,建立了HM-凸函数的Jensen型不等式。