平面一般二次曲线的垂径定理及其应用

利用高中数学的“点差法”得到平面一般二次曲线的垂径定理,该结果给出圆、椭圆、双曲线、抛物线以及双直线的垂径定理的一种统一形式.作为应用,给出了一道2022年江西数学竞赛预赛试题的一种简单解法.

例谈圆锥曲线中“非对称韦达定理”的五种解决方法

在解决圆锥曲线的有关问题时经常会遇到“非对称韦达定理”结构的式子,本文主要就此类问题提出五种解决方法:(1)积化和法、(2)配凑保留单变量法、(3)圆锥曲线替换法、(4)圆锥曲线第三定义法、(5)求根公式暴力代入法.通过例题的解答来展示五种方法的具体实施操作,并且提供一个变式练习给予融合训练,以期达到深入领会.

圆锥曲线中“圆幂定理”的探索与推广——从一道教学质量统考解析几何试题谈起

通过对一道高三教学质量统考抛物线试题的解法分析和背景探讨,明晰了相交弦长度积比值与斜率表达式的内在逻辑关系,并进一步推广论证到圆锥曲线体系,在四点共圆(特殊)的基础上提出圆锥曲线“圆幂定理”(一般),并立足圆锥曲线知识体系的统一性,对相关定理进行知识整体上的抽象概括,用高观点的思维梳理主线知识,深化逻辑关联.

圆锥曲线的相交弦定理及其推广

类比圆的相交弦定理,推广得到圆锥曲线的相交弦定理,再对圆锥曲线的相交弦定理进行推广.

蝴蝶定理在高考解析几何试题中的应用

“蝴蝶定理”是古典欧式平面几何的最精彩的结果之一.“蝴蝶定理”相关命题最早出现在1815年,1944年2月号《美国数学月刊》中正式有了这个名称及证明,因题目的图形像一只蝴蝶,而称为蝴蝶定理.现这个定理的证法不胜枚举,至今仍被诸多数学热爱者研究,命题研究者常通过射影几何,将蝴蝶定理推广到普通的任意圆锥曲线(包括椭圆,双曲线,抛物线,甚至退化到两条相交直线的情况),在高考、竞赛、模拟考试中时有出现各种变形.

圆锥曲线问题中“非对称韦达定理”的处理策略

在圆锥曲线问题求解中,我们通常利用直线与圆锥曲线联立得到一元二次方程,并利用韦达定理来处理形如|x_(1)-x_(2)|,x_(1)^(2)+x_(2)^(2),1/x_(1)+1/x_(2),x_(1)y_(2)+x_(2)y_(1)等结构的相关问题,这些形式通过合理的变形均可以用x_(1)+x_(2),x_(1)·x_(2)整体带入的方法达到避免解交点坐标的目的.

高等数学中泰勒中值定理及拓展应用

泰勒中值定理及其对应的泰勒公式是微分学的重点内容,也是教学难点。在高等数学课程中,泰勒公式主要用于求解未定式的极限,近似计算以及证明某些与中值问题有关的结论。本文主要探讨泰勒公式的思想方法,利用泰勒中值定理证明曲线的凹凸性判定定理,中值问题,以及求解微分方程等拓展应用。

活跃在圆锥曲线解题中的平几定理

一、知识点梳理,1.内角平分线定理,已知,如图1,在△ABC中,AD平分∠BAC交边BC于D点,则有BD/CD=AB/AC.

问题解读多解探索,方法总结应用拓展——以一道圆锥曲线问题为例

多解探索是高中数学常用的教学方式,即引导学生从不同视角审视问题,探索解法,构建思路.教学中需要注意考点分析、过程引导、方法总结,并适度拓展.文章以一道圆锥曲线问题为例,开展多解探索,并提一提教学建议,谈一谈思考.

圆锥曲线相交弦的一组命题及其应用

高考中常出现圆锥曲线的相交弦问题,而此类问题往往比较困难,许多学生因此而无从下手导致在考场中失利.笔者考虑到关于圆的相交弦有一条常用性质即圆幂定理,那么关于抛物线、椭圆、双曲线的相交弦是否也有类似的统一结论?通过探究,笔者得到关于圆锥曲线相交弦的一组命题,现整理成文,与读者共享.

一道圆锥曲线压轴题的探究与推广

圆锥曲线中的定点定值问题是高考数学中的热点,经常作为压轴题出现.常见的解题思路为将椭圆/双曲线/抛物线与直线联立,通过韦达定理求证.这类问题往往可以推导出一般性的结论,从而得到圆锥曲线的一些特殊性质.本文以一道圆锥曲线压轴题为例,探究出其背后隐藏着的一些美妙性质.希望能对学生学习圆锥曲线知识起到抛砖引玉的作用,激发学生对数学学习与研究的兴趣.

一类涉圆锥曲线的两条直线交点坐标求解方法的研究

回眸2022年北京、浙江及全国甲、乙卷4套高考数学试题的压轴题,研究者不难发现解析几何是排在首位的,也的确压准了中学数学教学中的轴线,并且深深地切入考生的痛点——数学运算策略、习惯与关键能力方法.通过纵向比较近5年高考解析几何趋势和横向剖析2022年全国4套试题及北京、浙江等试题,研究者就会发现压轴题其实都是涉圆锥曲线一条直线上点的坐标表示另一点的坐标的求解问题.顺着命题发展延伸脉络来观察,涉圆锥曲线的两条直线交点坐标求解问题会成为新的热点.鉴于此,文章将就命题生成机理分析、命题生成案例举隅、涉圆锥曲线两条直线交点坐标运算问题进行阐析.

基于非对称韦达定理模型的2023年新高考全国Ⅱ卷第21题溯源探究与推广

1试题呈现(2023年新高考全国Ⅱ卷·21)已知双曲线C的中心为坐标原点,左焦点为(-2√5,0),离心率为√5.(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)记C的左、右顶点分别为A1,A2,过点(-4,0)的直线与C的左支交于M,N两点,M在第二象限,直线MA1与直线NA2交于点P,证明:点P在定直线上.

一道圆锥曲线斜率和与积问题的优化解法

圆锥曲线有关直线的斜率的和与积问题一直是高考的频繁考点,如2022年新高考Ⅰ卷第21题,2020新高考Ⅰ卷22题,2018年新课标Ⅰ卷文20题,2017年新课标Ⅰ卷理科20题,2017年新课标Ⅲ卷理科20题,其中2023年全国乙卷理科第20题最后条件翻译也可翻译成斜率和问题,此类题目主要以两类形式考查:①圆锥曲线上过同一定点的两条直线的斜率之和或斜率之积为定值;②圆锥曲线上过同一定点的两条直线的斜率之和或斜率之积为定值,则这两条直线交于圆锥曲线上异于这个定点的两个点的联线过另一定点.此类题目的解法是:设立直线,直线与圆锥曲线方程联立,消元得到韦达定理关系,条件翻译得到表达式,代入韦达关系式求解.但是此类方法计算量大,计算复杂,因此本文下述将解题的过程出发,不断优化运算过程,提供一种更为巧妙的运算过程优化方法.

球面栅格空间中的Jordan曲线性质及其拓扑矛盾分析

定义了球面栅格空间的拓扑元素,给出球面栅格空间中邻近、连通和空间目标的内部、边界和外部等空间目标的拓扑定义及形式化描述,讨论了Jordan曲线在球面栅格空间中的性质及由此引起的拓扑矛盾。

Jordan李代数的Engel定理及其应用

证明了有限维Jordan李代数的Engel定理,并应用它得到了Jordan李代数的Cartan子代数的若干性质.

右可逆半群上渐近殆非扩张曲线的遍历定理

设H是一个Hilbert空间,G是一个右可逆拓扑半群,在G上引入渐近殆非扩张曲线u(.),证明了具有等距的渐近殆非扩张曲线的强遍历收敛定理.由上述结论不仅得到当G是可交换半群时的强遍历定理,而且推广了已有的非扩张半群、渐近非扩张半群、渐近型非扩张型半群及殆轨道的相关结论.

关于曲线积分中值定理“中间点”的一个一般性结果

讨论了第一类曲线积分中值定理“中间点”的渐近性质,得到了更具一般性的新结果.

第一型曲线积分的第二中值定理

利用定义在曲线上的函数的单调性概念,在适当的条件下证明了第一型曲线积分的第二中值定理.定积分的第二中值定理是主要结果的简单推论.

曲线积分中值定理“中间点”的渐近性

讨论了第一型曲线积分中值定理“中间点”的渐近性 。