具有特殊初值的散焦Kundu-Eckhaus方程的正散射问题

在本文中,我们主要考虑了具有特殊初值条件的散焦Kundu-Eckhaus (KE)方程的正散射问题。正散射问题是根据一个合适的均匀化变量提出的,这使我们能够在标准复平面上发展讨论相关问题,而不是在两片黎曼曲面或沿切口具有不连续性的切面上。我们首先通过KE方程的Lax对求解出该初值条件下的Jost函数解,然后根据Jost函数解之间存在的散射关系得出相应的散射数据,最后重点讨论了散射数据 的零点,利用一些特殊的三角函数来研究其零点规律,然后我们发现一个有趣的现象,即在某些情况下散射数据 的零点不存在或者只存在一个零点。

正半实轴上Zakharov－Shabat特征值问题的迹公式

本文获得了正半实轴上的Ｚａｋｈａｒｏｖ－Ｓｈａｂａｔ特征值问题的迹公式

KdV方程的直接微扰方法

系统地讨论了含修正项的ＫｄＶ方程的直接微扰方法．从反散射变换所得的不含修正项方程的严格多孤子解出发，导出了线性化算子的零本征值的所有本征函数———平方Ｊｏｓｔ函数．引入了它们所对应的伴随函数和定义了内积．计算了应有的正交关系，并自然得到单位元的平方Ｊｏｓｔ函数的展开式．利用广义的Ｍａｒｃｈｅｎｋｏ方程，证明了平方Ｊｏｓｔ函数的完备性．同时得到展开式中的积分是沿实轴从－∞到∞，但在原点附近将从上方绕过．这不同于过去所得的Ｃａｕｃｈｙ主值积分．为最明确显示这一差别，在单孤子情况下又用平方Ｊｏｓｔ函数的显式，直接作了验证．同时指出，以前由于取Ｃａｕｃｈｙ主值积分导出的ＫｄＶ方程所特有的孤子尾，在采用从上方绕过原点的积分时，则事实上并不存在．