低频参激下具有分布时滞分数阶Duffing系统的振动分析

针对受到低频参激和低频外激驱动且包括分布时滞的分数阶Mathieu-Duffing系统,该文研究了在任意分数阶谐波共振下的振动机理。在数值格式方面,该文采用一种基于Caputo导数定义的精确数值算法,将传统振动系统中的渐进解析分析方法拓展到分数阶振动系统,从理论上给出了各谐振频率处稳态响应幅值的统一解析结果,以揭示低频参激对共振频率项的影响机制,并给出2种参激频率影响模式。研究发现,外激频率会引起系统稳态响应幅值的鞍节分岔现象,在数值结果中呈振幅跳变现象,确定了由分数阶阻尼阶次诱导的三重鞍结分岔现象。此外,该文进一步考虑将分布时滞参数作为控制参数,成功预测并验证了由时滞强度系数诱导的跨临界分岔现象。

Duffing方程的求解方法

本文以Duffing方程为例,介绍了求解微分方程的多种方法,例如:多尺度方法、Poincaré-Lighthill-kuo方法、平均值方法、Krylov-Bogoliubov-Mitropolsky方法。多尺度方法首先引进尺度变量并将未知函数展开,代入Duffing方程得到零级近似和一级近似,消除久期项,可以解得Duffing方程的摄动解。对于PLK方法,引入含Duffing方程振荡圆频率的新变量,将未知量与圆频率做摄动展开,同理可以解得Duffing方程的摄动解。平均值方法引入新变量将方程转化为方程组,利用常数变易法结合方程组确定常数的导数,得到其在区间上的平均值,得解Duffing方程。KBM方法首先假设出方程的解,应用幂级数展开法和复合函数的求导法则,同理解得Duffing方程的摄动解。经比较,四种方法得到的原方程的解相同。