4-正则图着色的Kempe等价性

给定一个图G及它的一个正常顶点着色f,G中任意两种颜色的顶点导出子图称为G的一个2-色导出子图,该2-色导出子图的分支称为G的一个2-色分支。Kempe变换是指将图G的某个2-色分支实施颜色互换。若两个着色之间可通过若干次Kempe变换达到对方,则这两个着色是Kempe等价的。Mohar猜想当k33时,对于任意的连通k-正则图G,若G不是完全图,则G的所有k-着色是Kempe等价的。Feghali等人解决了k=3时的情况,当k34时,此猜想尚未解决。该文研究了k=4时的情况,证明了:(1)若G是一个连通度小于3的4-正则图,则G的所有4-着色是Kempe等价的;(2)若G是4-正则图,且含有与4-轮或近5-阶完全图同构的子图,则G的所有4-着色是Kempe等价的;(3)若G是一个3-连通4-正则图,且G存在一个顶点x和一个4-着色f,满足x的邻域中有3个或4个顶点在f下着相同颜色,则G的所有4-着色是Kempe等价的。

极大平面图的结构与着色理论(4)σ-运算与Kempe等价类

设G是一个k-色图,若G的所有k-着色是Kempe等价的,则称G为Kempe图。表征色数33的Kempe图特征是一尚待解决难题。该文对极大平面图的Kempe等价性进行了研究,其主要贡献是:(1)发现导致两个4-着色是Kempe等价的关键子图为2-色耳,故对2-色耳的特征进行了深入研究;(2)引入σ-特征图,清晰地刻画了一个图中所有4-着色之间的关联关系,并深入研究了σ-特征图的性质;(3)揭示了4-色非Kempe极大平面图的Kempe等价类可分为树型,圈型和循环圈型,并指出这3种类型可同时存在于一个极大平面图的4-着色集中;(4)研究了Kempe极大平面图特征,给出了该类图的多米诺递推构造法,以及两个Kempe极大平面图猜想。

Kempe变换理论研究进展

给定一个图G及它的一个正常顶点着色f,G中所有着两种颜色之一的顶点构成的顶点子集导出的子图称为G的一个2-色导出子图,该2-色导出子图的分支称为G的一个2-色分支。Kempe变换是指将图G的某个2-色分支实施颜色互换。自1879年Kempe引入Kempe变换用于证明四色猜想至今,众多学者从不同的角度对Kempe变换展开了研究。该文总结了Kempe变换的一些基本性质;对已有的一些重要成果进行了较为详细的综述;针对Meyniel定理,即每个平面图的所有5-着色构成一个Kempe等价类,给出了一个新而简短的证明方法;提出了一个与着色类型相关的问题,意在探索不同Kempe等价类之间的关系,以加深Kempe变换的研究。