Gauss求积公式的直接构造研究

研究从数值积分公式的代数精度概念出发,通过直接对涉及的非线性代数方程组进行分析,即无需用到正交多项式的单根特性,获得了求积系数ai的计算公式和Gauss求积公式存在性及其构造,并以推论的方式获得了正交多项式的单根特性。

Newton-Cotes公式的渐近展开及其应用

给出了(n+1)-点Newton-Cotes公式的渐近展开,作为特例,得到了梯形求积公式和Simpson求积公式及其复化形式的渐近展开,分析了与Euler-Maclaurin展开的区别与联系,指出从复化Simpson求积公式出发,可得到数值积分的高阶Romberg算法.

两点Gauss-Legendre求积公式的外推算法

本文通过Richardson外推的方法,对复化两点Gauss-Legendre求积公式外推,得到高精度数值积分公式——复化两点Gauss-Legendre求积公式序列{G k(h)}.

三角形面积的海伦公式、“三斜求积”公式及其推广

上海教育出版社出版的新版普通高中教科书数学必修第二册[1]第6章中“探究与实践”板块关注的是“海伦公式和‘三斜求积’公式”.在这一板块中,简单介绍了海伦公式及其名称的来由,以及秦九韶的“三斜求积”公式,并给出两个探究问题:1.利用三角形面积公式和余弦定理证明海伦公式和“三斜求积”公式;2.证明海伦公式与“三斜求积”公式的等价性.

Gauss-Legendre求积公式的收敛性

给出了∫abf(x)dx的两点、三点Gauss-Legendre求积公式及其复化求积公式的余项,并证明了复化两点、三点Gauss-Legendre求积公式是高阶收敛的,收敛的阶分别为O(h4)和O(h6).

关于复合求积公式余项的研究

借助积分相关理论,给出了数值积分中复合梯形公式和复合Simpson求积公式余项误差事后估计式的严格证明及其余项表达式中的导数因子f″(ηn),f″(η2n),f(4)(ηn)和f(4)(η2n)在n充分大时的变化情况.为处理求积公式余项关系式提供了新的方法.

Cotes数值求积公式的校正

本文研究了Cotes数值求积公式代数精度的问题,给出了Cotes求积公式余项"中间点"的渐进性定理.利用该定理得到了改进的Cotes求积公式,并证明了改进后的Cotes求积公式比原来的公式具有较高的代数精度.

一种确定求积公式余项的新方法

目前 ,各类文献中尚未见有确定一般形式数值求积公式余项的一般方法。正是基于此 ,本文提出了确定二类求积公式余项的一种新的通用的计算方法 ,得到了几个引理和定理 ,并且通过几个实例进行了说明。结果表明 ,该方法仅仅依赖于求积公式的代数精度 ,且计算简单。

一类广义Gauss型求积公式

基于被积函数在n次第一类和第二类Chebyshev多项式的零点处的差商,该本构造了两种Gauss型求积公式,这些求积公式包含了某些已知结果作为特例。更重要的是这些新结果与Gauss-Turán求积公式有密切的联系。

奇异函数的Hermite插值求积公式

推导出被积函数F（x）具有有限个极点且其权点与正交多项式零点不相重合的Hermite插值求积公式，并给出了数值计算的例子．

关于一些数值求积公式的渐近性

该文给出了一些数值求积公式的渐近性质，这些公式包括求积分的矩形法则、梯形法则和抛物线法则．包含于余项中的中介点的位置当积分区间的长度趋于零时被确定，对应于该法则的校正公式被得到，它们具有较高的代数精度．我们也进行了一些数值试验，得到较满意的数值结果．

关于Romberg求积公式注记

对Romberg求积公式进行了详细分析。讨论了其显式公式,给出了其误差公式。与Newton-Cotes和Gauss求积公式进行了比较分析,得出Romberg求积并不是一个理想的求积公式。

插值型求积公式的代数精度

借助于勒让德多项式的零点性质,证明了N阶插值型求积公式的代数精度可取N到2 N+1之间的任意整数值,计算得到了两点插值型求积公式的代数精度与求积节点位置的关系.简化了[1]中关于3次代数精度的条件的讨论.

一类仅带端点导数的复合求积公式

利用仅带端点导数的Hermite插值公式导出一类仅带端点导数的求积公式 ,然后用等距结点的复合求积方法 ,构造出复合求积公式 ,利用同一内结点上相邻区间公式中导数项的系数互相抵消这一特点 ,得出只含整个区间两端点上导数值的复合求积公式 .

积分第一中值定理中间点的一般渐近性质与求积公式

证明关于积分第一中值定理的中间点ξ的渐近性质的一般结果.而且,由此自然地推导出单节点数值积分公式.此求积公式具有高精度,还适于瑕积分的数值计算.

Newton-Cotes数值求积公式的注记

通过Newton-Cotes数值求积公式的余项,直接给出了Newton-Cotes求积公式的校正公式以及误差分析.这些校正公式比原有的数值求积公式提高了一次或两次代数精度.

显示Romberg求积公式及其误差

Romberg求积公式是用几个粗糙的近似值的线性组合得到较为精确值的成功典范。现有文献并没有介绍Romberg求积公式的显示形式,没有误差等式。在这里将给出Romberg求积公式的显示形式和误差等式。

用万能求积公式解历年高考求积题

1．从1999年的一道选择题谈起 1999年普通高等学校招生全国统一考试数学试题的第10小题是一道关于求一个多面体体积的选择题．原题是这样的：如图1，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形。

复化Newton-Cotes四点数值求积公式的外推算法

通过Richardson外推的方法,对复化Newton-Cotes四点数值求积公式外推,得到高精度的数值积分公式——复化Newton-Cotes四点求积序列{NCk(h)}.

高斯求积公式对解析函数类上积分问题的逼近误差

在最大框架下研究两种高斯型求积公式对解析函数类上积分问题的逼近误差,得到了相应量的准确值,并由此证明了相应的积分问题具有指数型收敛速度.