经典导数的拓展——时间尺度上求导

在微积分的教学中,学生对微积分的认识不应该止于经典积分的思想与内容。教师可为学生介绍时间尺度微积分的概念,拓展教学内容。首先介绍时间尺度的背景,然后给出时间尺度上常用的基本符号及时间尺度上函数可微的定义,更有利于学生理解相关概念,激发继续探索微积分的兴趣。

时间尺度上Birkhoff系统的delta-nabla积分方程

为了研究时间尺度上的Birkhoff系统动力学,该文给出了时间尺度上delta-nabla导数下Birkhoff系统的运动积分方程。该方程是在一定边界条件和自然边界条件下分别进行研究的。时间尺度上delta导数下、nabla导数下Birkhoff系统的运动积分方程均为该方程的特例。对其它若干特例进行了讨论分析。举例说明了结果的应用。

时间尺度上Birkhoff系统的积分因子和守恒量

研究时间尺度上Birkhoff系统的守恒量,建立时间尺度上Birkhoff系统的积分因子与能量方程,构建利用积分因子法求解该系统守恒量的守恒定理.时间尺度上Hamilton系统与时间尺度上Lagrange系统的能量方程、积分因子和守恒定理是其特例,最后举例说明结果的应用.

时间尺度上的某些积分不等式

研究了时间尺度上二维逆Hlder型不等式和Hlder不等式.还利用时间尺度上的Hlder不等式,给出了许多积分不等式.Hardy不等式是其特殊情况.

两种时间尺度下的遗传积分通式

对以往遗传积分的表达式中积分上限ｔ和被积函数中变量ｔ给以不同的解释。首次提出了两种时间尺度，并推导出通用的遗传积分表达式，据此可更清晰地描述在任意时刻所施加的各级应力总和作用下的总应变随时间的无限变化情况。

时间尺度上的两个积分不等式

通过利用比较定理,研究了时间尺度上的两个新的积分不等式.这两个不等式是一些已知的积分不等式及其离散形式的统一和延伸.

时间尺度上含有两个变量的Volterra-Fredholm型动力积分不等式

研究了一类时间尺度上含有两个变量的Volterra-Fredholm型动力积分不等式,给出了动态积分不等式的有界性估计,这些有界性估计可作为研究某些动力积分不等式的有效工具。

时间尺度上的Gronwall型积分不等式

利用比较定理,研究了时间尺度上的几个Gronwall型积分不等式,并举例说明了它们的一些应用。这些不等式是一些已知的积分不等式及其离散形式的统一和延伸。

CaputoΔ型分数阶时间尺度Noether定理

时间尺度理论将微分方程理论和差分方程理论融合于一体,而分数阶微积分可以为实际问题提供更为切合的模型.分数阶时间尺度微积分因能统一研究连续分数阶系统和离散分数阶系统而备受关注.结合时间尺度和分数阶微积分,研究含CaputoΔ导数的分数阶时间尺度Noether定理,为研究复杂系统动力学行为提供了一个新的视角.首先,回顾了分数阶时间尺度积分和导数的定义.其次,根据所提出的CaputoΔ型分数阶时间尺度Hamilton原理,导出了分数阶时间尺度Lagrange方程.在特定条件下,此方程可退化为时间尺度Lagrange方程、Caputo型分数阶Lagrange方程和经典Lagrange方程.进一步地,在特殊无限小变换和一般无限小变换两种情形下,分别给出了CaputoΔ型分数阶时间尺度Noether对称性的定义和判据.继而,提出并证明了特殊无限小变换下的分数阶时间尺度Noether定理(定理1)和一般无限小变换下的分数阶时间尺度Noether定理(定理2).当α=1时,定理1则退化为特殊无限小变换下的经典时间尺度Noether定理,并且定理2成为利用广义Jost方法所得到的时间尺度Noether定理.此外,当T=R时,定理2还可退化为Caputo型分数阶Noether定理.最后,以平面上的分数阶时间尺度Kepler问题和单自由度分数阶时间尺度线性振动系统为例来验证定理的正确性.

大纯滞后纯积分对象的二阶自抗扰控制

具有纯滞后的一阶惯性环节是研究滞后问题的典型对象。采用修改后的二阶自抗扰控制器ADRC(Auto Disturbance RejectionController) ,研究了大纯滞后纯积分对象的控制。仿真表明 ,二阶ADRC能有效控制该类对象 ,并表现出较强的鲁棒性和抗扰性 ,而且在一定程度上不存在所谓的模型失配问题。此外 ,给出了滞后时间从 0开始不断增加的控制器参数调整表和基于时间尺度的控制器参数调整依据 ,具有一定的工程实用价值。

非线性插值精细积分法在刚柔耦合弹簧摆中的应用

刚柔耦合多体系统变量的特点为既有大范围慢变量,又有小幅度快变量,它们相互耦合,构成时变强非线性的高维动力学方程。由于这一特点往往给系统的数值模拟带来困境,需要对这一特点进行更深入的数值分析。以双时间尺度变量弹簧摆作为研究模型,采用一种三次Lagrange插值精细积分法进行数值计算,该方法是一个显式单步预测一校正的有效算法,能够自起步,且具有精度高、计算量小的特点。将该精细积分法与四阶Runge-Kutta法从能量守恒及计算结果准确度两方面进行比较,结果表明在计算系统快变量的响应时,精细积分法优于四阶Runge-Kutta法。对弹簧摆系统进行动力学行为分析,以大频率比及初始大摆角作为控制参数,研究系统的复杂动力学行为,给出了一定范围内不同动力学性态对应的参数域。

处理时间序列提高计算湍流通量的精度

讨论了非线性趋势对时间序列的自相关函数、积分时间尺度等的影响，并估算了其最终对湍流通量的影响，指出有效地去除野点、噪音和非线性趋势以及非线性趋势对时间序列的自相关函数、积分时间尺度等的影响，可以减少其对湍流通量产生较大的虚假贡献。

各向同性湍流中颗粒弥散的直接数值模拟

对三维气粒两相各向同性湍流进行了直接数值模拟以研究悬浮在其中的颗粒的运动.重点考察了颗粒惯性对颗粒和颗粒所见流体速度的自相关以及颗粒弥散特性等的影响.颗粒的Lagrangian积分时间尺度随颗粒惯性单调增加,颗粒所见流体速度的Lagrangian积分时间尺度保持相对稳定;当颗粒的弛豫时间尺度与流体的Kol mogorov时间尺度相当时,流体Lagrangian积分时间尺度有较大偏离.当颗粒的惯性很小时,颗粒扩散随惯性增大而增强,但当颗粒的惯性大于一定值时,颗粒的扩散性反而减弱,局部富集明显时颗粒扩散系数最大,此时颗粒的涡扩散系数可比流体的高约30%.τp/τk≈1.0的颗粒的浓度场显示,由于局部富集效应颗粒倾向于集中在低涡度高剪切的区域.

剪切来流条件下风力机尾流场特性实验研究

以水平轴风力机模型为研究对象,利用一维热线测速技术,在Eiffel型风洞中研究了湍流边界层条件下风力机尾流场特性。实验结果表明,和平均速度、湍流强度等特性一样,湍流积分时间在尾流场中也出现衰减,并随风力机下游距离增加逐步恢复,在x/dT=10处,约恢复至来流的70%;受边界层影响,3种流场特性在竖直平面均呈非对称分布。基于频谱分析,在尾流场不同位置,不同尺度湍流结构对流场湍动能量的贡献度分布情况不一样。在风轮区域内,尾流场中湍动能量在近流场主要受风力机旋转影响,在远流场,尺度大于风力机直径的低频微团则起到主导作用,同时,基于无量纲的斯特劳哈尔数表明,在远流场(x/dT>4)存在不稳定的尾流弯曲现象。

季节内SST和混合层深度变化的模式研究

用Niiler—Kraus类型的混合层积分模式,对TOGA—COARE强化观测期间由《实验3号》科学考察船观测资料得到的混合层深度和SST在季节内时间尺度的变化进行了模式研究。指出:1.混合层耗散参数与较长时间尺度过程风应力的变化存在着比较好的对应关系;2.模式可以较好的对风场和热通量场在季节内时间尺度的变化作出响应,模拟出季节内时间尺度SST的变化;3.Niiler,-Kraus模式在考虑耗散作用后,可用于海洋季节内时间尺度变化的模式研究。

Nabla导数下Hamilton系统的约化

提出并研究nabla导数下Hamilton系统的约化问题.依据nabla导数下力学系统的Hamilton原理,建立Hamilton系统的正则方程,给出系统的能量积分和循环积分;并利用这些积分,约化系统的Hamilton正则方程.结果表明:约化后的方程仍保持系统的Hamilton正则方程形式,Nabla导数下力学系统的约化理论是连续和离散力学系统的约化理论的统一和拓展.文中讨论了时间尺度等于实数集和整数集两种特殊情形下Hamilton系统的约化,并举例说明了结果的应用.

高阶SRC-KF SINS对准模型算法

基于SINS初始对准误差参数计算精度要求,利用Gauss-Hermite积分和Gauss-Lagerre积分数值逼近方法,证明了Bayesian最优估计理论的高阶球面径向联合积分数值逼近的五阶SRC-KF算法.通过状态向量坐标变换开展高阶球面径向数值积分逼近计算,根据获得2n2个球面径向采样点,利用高阶矩匹配方法设计采样点权值展开系统状态后验概率密度函数逼近计算,来达到非线性系统状态参数五阶SRC-KF最优估计算法高精度计算目的.采用四元数姿态建模方法构建新型SINS初始对准非线性误差模型,引入Lagrangian乘子算法计算四元数估计加权均值,最后利用SINS粗对准实验数据开展初始对准高阶SRC-KF模型算法仿真验证研究.通过UKF、CKF和五阶SRC-KF算法估计数据比较,五阶SRC-KF算法计算精度较高,数值计算稳定性好,验证了五阶SRC-KF算法的可行性及计算精度优势.

基于循环分辨分析的湍流特征参数计算法

采用不同的孔板结构和不同的驱动电机转速在定容燃烧弹内生成具有不同的湍流特性参数的气流 ,并用热线风速仪进行了测量。在循环分辨分析的基础上 ,计算分析了它们各自的湍流强度、积分时间尺度和时频谱密度。结果表明 ,电机转速越大 ,孔板总通孔面积越小 ,则湍流越强 ,积分时间尺度越小 ;对于不同的孔板结构和电机转速 ,湍流能量分布明显不同。

一种刚性杆-弹簧摆模型的混沌动力学行为研究

针对具有大范围运动慢变量和小幅度振荡快变量的强非线性刚-柔耦合多体系统,建立一种刚性杆-弹簧摆模型。给出了该双时间尺度变量系统的无量纲动力学方程,以频率比、摆长比作为控制参数,对系统在不同初始条件下的非线性动力学行为进行了数值模拟和分析。由于快、慢变量之间的相互耦合,动力学方程表现出强非线性的特点,对数值方法提出了更高要求。采用一种高精度的三次Lagrange插值精细积分法进行数值求解,并给出了系统不同的运动状态对应的参数范围。数值分析结果表明,系统变量在不同的控制参数和初始条件下,呈现出了复杂的混沌动力学行为,快变量显示了经由准周期环面破裂分岔通往混沌的途径。

刚性杆-弹簧摆模型复杂动力学特性的数值仿真

建立一种刚性杆-弹簧摆刚柔耦合强非线性动力学系统模型,给出了无量纲的动力学微分方程.该模型同时存在小幅度快速振荡和大范围慢速摆动的快、慢双时间尺度变量.针对工程中此类系统数值求解容易产生的刚性问题,采用一种三次Hermite插值精细积分法进行数值计算.将频率比、摆长比和初始摆角作为控制参数,研究刚性杆-弹簧摆刚柔耦合系统快、慢变量的复杂动力学行为.通过数值仿真分析,发现系统在不同的控制参数组合下呈现出混沌运动状态,并给出了与系统运动状态相关的控制参数范围,为复杂的刚柔耦合多体系统的设计与数值分析提供了参考.