R^6中的Laguerre等参超曲面的分类

若超曲面的Laguerre形式为零且Laguerre第二基本形式的特征值(称为Laguerre主曲率)为常数,则称超曲面为Laguerre等参超曲面.对R^6中的Laguerre等参超曲面进行了研究,得到了分类定理.

R^n中具有3个不同主曲率的Laguerre等参超曲面

若超曲面的Laguerre形式为零且Laguerre第二基本形式的特征值(称为Laguerre主曲率)为常数,则称超曲面为Laguerre等参超曲面.对Rn中具有3个不同主曲率的Laguerre等参超曲面进行了研究,得到了相应的分类定理.

仿Laguerre特征值及Laguerre等参超曲面研究

设x:M→R^n是主曲率非零的无脐点超曲面,若x满足Laguerre形式C等于0,且所有Laguerre主曲率都是常数,则称x是Laguerre等参超曲面.证明了当Laguerre形式C等于0时,若Laguerre主曲率是常数,则仿Laguerre特征值为常数;若仿Laguerre特征值为常数且λ非零,则Laguerre主曲率是常数.

R^n中具有两个不同主曲率的Laguerre等参超曲面

设x:M→Rn是主曲率非零的无脐超曲面,在Laguerre变换群下x的四个基本不变量是:Laguerre度量g;Laguerre形式C;Laguerre张量L;Laguerre第二基本形式B.若Laguerre形式C=0且Laguerre第二基本形式B的特征值(称为Laguerre主曲率)为常数,则称超曲面为Laguerre等参超曲面.本文我们对中具有两个不同主曲率的Laguerre等参超曲面进行了分类.

R^5中的Laguerre等参超曲面(英文)

设M是R^n中不含脐点的超曲面,在M上可以定义所谓的Laguerre度量g,Laguerre张量L和Laguerre形式C,Laguerre第二基本形式B,它们都是M在Laguerre变换群下的不变量.由Laguerre几何的经典定理可知,在Laguerre等价下M(n>3)完全由Laguerre度量g和Laguerre第二基本形式B确定.如果M满足Laguerre形式恒等于零而且Laguerre第二基本形式关于Laguerre度量的特征值均为常数,则称之为Laguerre等参超曲面.易知,所有Laguerre等参超曲面都是Dupin超曲面.本文在[Acta Math.Sin.,Engl.Ser.,2012,28(6):1179-1186]的基础之上研究R^5中的Laguerre等参超曲面,得到了分类定理.

R^n上具有三个主曲率的Laguerre等参超曲面

R^n上主曲率非零的定向无脐超曲面x:M→R^n称为Laguerre等参超曲面,如果它的Laguerre形式C=∑_iC_iω_i=∑_iρ^(-1)(E_i(logρ)(r-r_i)-E_i(r))ω_i为零,Laguerre形状算子S=ρ^(-1)(S-rid)的特征值为常数,这里ρ~2=∑_i(r-r_i)~2,r=r=((r_1)+r_2+…+r_(n-1))/(n-1)是平均曲率半径,S是x的形状算子,{E_i}是Laguerre度量g的单位正交标架,{ω_i}是对偶标架.本文给出R^n上具有三个互异Laguerre主曲率的Laguerre等参超曲面的分类.

R^3中的Laguerre极小超曲面

研究Rn中超曲面为Laguerre极小超曲面的一个充要条件,由此得到R3上不含脐点的曲面是极小的一个充要条件,并给出了R3上Laguerre极小曲面但并非极小曲面的一个例子.

S_1~4中的一类Ⅱ型洛伦兹等参超曲面

研究洛伦兹空间型S41中的Ⅱ型洛伦兹等参超曲面。给出了S41中最小多项式为(λ-1)2(λ+1)的洛伦兹等参超曲面M的解析表达式。证明了这种超曲面M局部地被三个函数A(u),B(u),C(u)所唯一确定。并且S41中任何洛伦兹等参超曲面M局部地与某个具有最小多项式(λ-1)2(λ+1)的洛伦兹等参超曲面M的平行超曲面合同。

4维洛伦兹中的洛伦兹等参超曲面

研究了S1^4（4维洛伦兹球面）中的Ⅲ型洛伦兹等参超曲面。说明了S1^4中的任何Ⅲ型洛伦兹等参超曲面M局部地与最小多项式为λ^3的某个洛伦兹等参超曲面^～M的平行超曲面叠合,还证明了这种超曲面^～M局地被三个一元函数C1（u）,C2（u）,C3（u）所唯一确定,并给出了^～M的解析表达式。从而完成了S1^4中洛伦兹等参超曲面的完全分类。

洛伦兹空间型H_1^(n+1) 和S_1^(n+1)中的类空等参超曲面

研究洛伦兹空间型Hn+11和Sn+11中的类空等参超曲面,证明了它的主曲率的个数≤2,给出了这种超曲面的完全分类和解析表达式。

S_1^(n+1)中的Ⅱ型全脐洛伦兹等参超曲面

研究Sn1+1中的Ⅱ型全脐洛伦兹等参超曲面M。证明了形算子A的最小多项式为λ2的这种超曲面局部地被(n-1)个函数C1(t),…,Cn-1(t)所唯一确定,给出了这种超曲面的解析表达式。并且形算子A的最小多项式为(λ0a)2的任何Ⅱ型全脐洛伦兹等参超曲面局部地与上述超曲面的平行超曲面叠合,从而完成了Sn1+1中的Ⅱ型全脐洛伦兹等参超曲面的分类。

S_1^(n+1)中Ⅱ型洛伦兹等参超曲面的完全分类

研究洛伦兹球面1Sn+1(R1n+2)中的n维Ⅱ型洛伦兹等参超曲面M,给出了这种超曲面的完全分类,证明了这种超曲面的存在性定理和局部刚性定理。如果M的主曲率全都相等,称M是全脐的。设M具有2个互异的主曲率a1,an(a1≠an),形算子A的最小多项式为(λ-a1)2(λ-an)。当a1的重数p=2时,M称为是半脐的。文中证明了M实际上是将乘积流形S+p-1(t)×Sn-p(t)沿着单参数类光直线族{Lt|t∈I}的每一条直线Lt平行移动而得。特别当p=n时是全脐的,当p=2时M是半脐的。

S1^4中的Ⅱ型洛伦兹等参超曲面

研究S14中的Ⅱ型洛伦兹等参超曲面。证明了S41中最小多项式为(λ-a)2的Ⅱ型洛伦兹等参超曲面局部地被两个函数C1(t)和C2(t)所唯一确定,并给出了这种超曲面的解析表达式,从而完成了S14中的Ⅱ型洛伦兹等参超曲面的分类。

S_1^(n+1)中的Ⅲ型全脐洛伦兹等参超曲面

研究洛伦兹球面Sn+11中的Ⅲ型全脐洛伦兹等参超曲面,证明了这种超曲面的存在性定理和唯一性定理,给出了它的解析表达式。

S_1^(n+1)中不存在Ⅳ型洛伦兹等参超曲面

欧氏球面S1n+1中的等参超曲面的分类问题还没有完全解决.对洛伦兹球面S1n+1中的洛伦兹等参超曲面,情况有所不同,可能会有复的特征值。对S1n+1中的Ⅳ型洛伦兹等参超曲面进行了研究,将M.M agid在洛伦兹空间R1n+1中的有关结果推广到S1n+1中,证明S1n+1了中不存在Ⅳ型洛伦兹等参超曲面。

S_1^(n+1)中的Ⅱ型半脐洛伦兹等参超曲面

研究洛伦兹球面S1n+1R1n+2中的n维Ⅱ型半脐洛伦兹等参超曲面,证明了这种超曲面的存在性,并证明了这种超曲面局部地被某一光锥曲线ν唯一确定。

5维洛伦兹球面中的一类Ⅲ型洛伦兹等参超曲面

研究（5维洛伦兹球面）中的Ⅲ型洛伦兹等参超曲面。证明了最小多项式为（λ-1）^3（λ＋1）洛伦兹等参超曲面M局地被五个一元函数C1（u），C2（u），C3（u），C4（u），C5（u）所唯一确定。并给出了M的解析表达式。还说明了S1^5中的任何Ⅲ型洛伦兹等参超曲面M局部地与最小多项式为（λ-1）^3（A＋1）的某个洛伦兹等参超曲面M的平行超曲面重合。

洛伦兹空间型S_1^(n+1)中的Ⅰ型洛伦兹等参超曲面的Cartan等式

研究了洛伦兹空间型S_1^(n+1)中的Ⅰ型洛伦兹等参超曲面并证明了其主曲率的Cartan等式．

R^(n+1)中等参超曲面(英文)

设Mn是Rn+1的n维C∞超曲面,λ1,λ2,…,λn为Mn的主曲率.假设Mtn为Mn的等参超曲面,且1(t),2(t),…,n(t)为Mtn的主曲率.本文证得如下的结论:Mn为Rn+1中的等参超曲面当且仅当nkMl(x,t)=∑1(t)2(t)…l(t)不依赖于参数t,其中Ml表示l-th平均曲率.

洛伦兹空间型S_1^(n+1)中的Ⅱ型洛伦兹等参超曲面的Cartan恒等式

研究了洛伦兹空间型S_1^(n+1)中的II型洛伦兹等参超曲面并证明了其主曲率的Cartan恒等式.