变系数Volterra型积分微分方程的2种Legendre谱Galerkin数值积分方法

为了进一步提高求解Volterra型积分微分的数值精度,针对一种变系数Volterra型积分微分方程,提出了2种Legendre谱Galerkin数值积分法。采用Galerkin Legendre数值积分对Volterra型积分微分方程的积分项进行预处理,对其构造Legendre tau格式,同时用Chebyshev-Gauss-Lobatto配置点对变系数和积分项部分进行计算,并通过对方程的定义区间进行分解,提出了一种多区间Legendre谱Galerkin数值积分法。该方法的格式对于奇数阶模型具有对称结构。此外,通过引入Volterra型积分微分方程的最小二乘函数,构造了Legendre谱Galerkin最小二乘数值积分法。该方法对应的代数方程系数矩阵是对称正定的。数值算例验证了这2种Legendre谱Galerkin数值积分方法的高阶精度和有效性。

超高阶次Legendre函数的跨阶数递推算法

本文引入了Legendre函数的跨阶数递推算法,并利用该算法在双精度数范围内计算了按间隔为1°余纬从1°变化至89°对应的直到完整的20000阶次的归一化连带Legendre函数的值.为验证计算精度,通过多种途径对该算法的计算结果进行检验,结果表明:该算法算得的每个阶次连带Legendre函数的值至少具有10-10这样的绝对精度.此外还对该算法的计算用时进行了统计,结果为该算法的计算用时大约是Legendre函数计算中常用的按阶数递推算法用时的1.6倍.

Gauss-Legendre求积公式的收敛性

给出了∫abf(x)dx的两点、三点Gauss-Legendre求积公式及其复化求积公式的余项,并证明了复化两点、三点Gauss-Legendre求积公式是高阶收敛的,收敛的阶分别为O(h4)和O(h6).

混合层无粘稳定性分析的Legendre级数解

基于泛函分析中的不动点理论,采用不动点方法首次获得混合层无粘线性稳定性方程的显式Legendre级数解,该级数解在整个无界流动区域内一致有效.现有基于传统摄动法得到的无界流动区域一致有效解仅适用于长波扰动和中性扰动两种特殊情况,而使用不动点方法可以得到所有不稳定扰动波数的特征解.另外,在不动点方法框架下,扰动相速度和扰动增长率可根据方程的可解性条件来唯一确定.为了验证该方法的有效性,将该方法和现有文献中的数值计算结果相比较,结果表明该方法具有精度高、收敛快等优点.

抛物方程的Legendre Galerkin谱配置最小二乘法

为了进一步提高求解抛物型方程的数值精度,针对一种抛物型方程,研究了Legendre-Galerkin谱配置最小二乘法。通过引入一个通量,将原问题转化为等价的一阶系统,并定义其半离散的最小二乘函数。空间上采用Legendre Galerkin方法,时间方向采用差分方法对时间变量进行离散,用Legendre/Chebyshev-Gauss-Lobatto配置法对右端源项进行离散。该方法导出的代数方程组的系数矩阵具有对称正定特点。数值实验结果表明,该方法具有有效性和高阶谱精度。

广义Burgers方程的Legendre-Galerkin Chebyshev-配置方法

本文对广义Burgers方程的Neumann和Robin型边值问题构造了LegendreGalerkinChebyshev-配置方法.Legendre-GalerkinChebyshev-配置方法整体上按LegendreGalerkin方法形成,但对非线性项采用在Chebyshev-Gauss-Lobatto点上的配置法处理.文中给出了方法的稳定性和收敛性分析,获得了按H1-模的最佳误差估计.数值实验证实了方法的有效性.

Chebyshev-Legendre method for discretizing optimal control problems

In this paper, a numerical method for solving the optimal control （OC） problems is presented. The method is enlightened by the Chebyshev-Legendre （CL） method for solving the partial differential equations （PDEs）. The Legendre expansions are used to approximate both the control and the state functions. The constraints are discretized over the Chebyshev-Gauss-Lobatto （CGL） collocation points. A Legendre technique is used to approximate the integral involved in the performance index. The OC problem is changed into an equivalent nonlinear programming problem which is directly solved. The fast Legendre transform is employed to reduce the computation time. Several further illustrative examples demonstrate the efficiency of the proposed method.

椭圆曲线y^(2)=(x-2)(x^(2)+2x+m)的整数点

设p是满足p≡5(mod12)的奇素数,q=p-3/2为奇素数或1,m为正整数且m=3p-8。运用初等数论的方法及四次丢番图方程的相关结果,给出了椭圆曲线y^(2)=(x-2)(x^(2)+2x+m)的所有整数点(x,y)。

动态应力解空间谱元离散的关键时间点识别方法

针对结构动态响应优化过程中动态分析的复杂性和高耗时性,提出动态应力解空间谱元离散的关键时间点识别方法。通过模态叠加法,获得结构动态应力解空间,将其在高斯-勒让德-罗巴托点谱元离散,构造时间点与其对应的动态应力解空间矩阵,应用Lagrange插值,得到高精度的近似函数。调用区域细分全局优化算法找到动态应力的绝对极大值点,即关键时间点。通过对动载荷作用下的124杆桁架结构和悬臂梁进行关键时间点识别,说明了提出方法的可行性和有效性。

椭圆曲线y^2=(x+2)(x^2—2x+p)的整数点

利用Legendre符号、同余式、Pell方程的解的性质等初等方法证明了:当p=36s^2-5(s∈Z+,2s),而6s^2-1,12s^2+1均为素数时,椭圆曲线y^2=(x+2)(x^2-2x+p)仅有整数点为(x,y)=(-2,0).

复合随机振动系统的动态可靠性分析

针对随机结构在随机过程激励下的动态响应问题,利用Karhunen-Loève分解方法将随机激励过程分解为以Gauss-Legendre积分节点为时间点的一系列时域确定性函数与独立随机变量相组合的形式,同时结合基于Gauss-Legendre积分公式的精细时程积分方法,求得各时域确定性函数下的时域响应。运用点估计法,计算随机结构系统在确定性时域激励下响应的统计矩。考虑随机过程的随机性与结构随机性相互独立的特性,得到随机结构参数和随机激励复合随机作用下响应的统计矩,并利用可靠性分析的四阶矩方法计算了随机结构在随机激励下的动态瞬时可靠度。与Monte Carlo模拟方法的对比可以验证所提出方法的精确性。对动态瞬时可靠度的分析可以获得振动系统在瞬态受载过程中的薄弱时刻,通过改进结构设计能够避免系统在薄弱时刻的失效,为振动系统的瞬态可靠性评估提供了理论基础。

基于哈密尔顿系统与辛算法的暂态稳定约束最优潮流

提出了一种暂态稳定约束最优潮流的哈密尔顿模型,采用哈密尔顿系统的辛算法(symplectic algorithm)进行求解。将发电机转子运动方程转换为哈密尔顿系统的正则方程,用四阶辛Gauss-Legendre Runge-Kutta(GLRK)方法对其离散化,实现了大规模系统暂态稳定约束最优潮流的快速求解。辛GLRK方法具有很好的数值稳定性和保结构特性,相同精度时,计算步长可达隐式梯形法的6倍;大步长计算时仍具有较高的数值精度。某省3301节点,236机等5个系统的仿真结果表明:所提模型在高阶离散辛框架下具有很高的数值稳定性,即便采用大步长也可保持较高的数值精度,能提高计算速度10倍以上,具有很好的应用前景。

全隐式龙格库塔法求解点堆动力学方程

强刚性问题时数值求解点堆中子动力学方程组的难点之一。该文用基于高斯-勒让特求积公式节点的全隐式龙格库塔法(简称GLFIRK)求解点堆动力学方程组。该方法是B稳定的,而且计算精度高,对于E级GLFIRK,其计算精度为2E阶。该文在阶跃、线性和正弦等不同反应性加入条件下对点堆动力学方程组进行了计算,计算结果表明,该方法计算精度高、计算速度较快、适应能力较好,可满足一定的工程应用要求。

椭圆曲线y^2=x^3+23x+54的正整数点

利用同余式、Legendre符号、Pell方程的解的性质等初等方法证明了椭圆曲线y^2=x^3+23x+54无正整数点.

小波法求一类强奇异积分近似值

针对一类强奇异积分,给出了Hadamard有限部分积分的定义,并通过Legendre小波求其近似值.由于Legendre小波具有正交性、小支集性和小波函数的可计算性,因此利用Legendre小波近似给定函数,将原来区间转化为若干子区间,当奇异点位于某一子区间时,可采用所给强奇异积分的Hadamard有限部分积分定义来求值.给出了算法的误差估计,通过数值算例进一步验证方法的有效性和理论的正确性.

基于RSPHL算法的圆形标志定位方法

针对传统圆形标志定位方法存在运算复杂、效率低的不足,结合点Hough变换的快速性和亚像素细分的精确性,提出基于点Hough变换与Legendre矩的圆亚像素检测算法,对印刷电路板(PCB)视觉检测中的圆形标志定位进行检测。实验结果表明,该方法定位精度可达0.056像素,具有抗噪性、准确性、快速性和鲁棒性的特点,能满足PCB视觉检测中高精度和实时性的要求。

勒让德方程本征值的确定

大部分数学物理方法教材直接给出了勒让德方程本征值的表达式,比较突兀,学生也难以理解.为消除学生在此处的学习障碍,直接从勒让德方程的一般形式入手,通过常点邻域的级数解法,推导出勒让德方程本征值的表示形式.

椭圆曲线y^2=7nx(x^2-8)的整数点

利用同余的性质、奇偶数的性质、Legendre符号的性质等初等方法,证明了n≡±5(mod8)为奇素数时椭圆曲线y^2=7nx(x^2-8)除整数点(x,y)=(0,0)外至多有4个整数点。研究结果对于a,b∈Z时,椭圆曲线y^2=pqx(x^2-a)的求解有一定的借鉴作用,也推进了该类椭圆曲线的研究。

线性—二次型最优控制问题的Chebyshev—Legendre拟谱方法

介绍了一种求解线性—二次型最优控制问题的拟谱方法.使用Legendre展开式逼近控制和状态函数,采用Chebyshev-Gauss-Lobatto(CGL)点作为插值点,对原问题进行离散,从而将最初的最优控制问题化归为一个与之等价的二次规划(QP)问题,对应QP问题的未知量分别为状态和控制函数的Legendre展开式系数.通过求解QP问题得到原问题的数值解.整个离散过程使用快速Legendre变换(FLT)以及相关的一些技巧,能方便计算出函数在各个CGL点上的函数值.数值实验结果表明用该方法解决这类最优控制问题的有效性和高精度.

椭圆曲线y^(2)=11nx(x^(2)-32)的整数点

利用同余的性质、Legendre符号的性质、奇偶数的性质等初等数学方法,证明了如果n≡5(mod 8)为奇素数,则椭圆曲线y^(2)=11nx(x^(2)-32)除(x,y)=(0,0)外无其他整数点.研究结果对椭圆曲线y^(2)=px(x^(2)-a),p,a∈+的求解有一定的借鉴作用,同时此结果推进了该类椭圆曲线的研究.