求随机变量期望和方差的微分恒等式法

首先介绍微分恒等式法,然后利用这种方求出了二项分布、泊松分布、几何分布、负二项分布、Gamma分布和正态分布等常见随机变量的期望和方差,说明了方法的有效性.

整数集的特定数之和引发的两个组合恒等式

研究集合{1,2,…,n}的所有r元子集的最小元素和与最大元素和的组合特性,发现了两个新的组合恒等式,并给出了证明,其探索发现过程为数学教学研究提供了新视角.通过引导学生探索此类问题,能激发他们的创造性和逻辑思维,进而提升他们的数学核心素养.

极化恒等式应用举例

平面向量是高考数学考查的重要内容之一,而且近几年对平面向量的考查越来越灵活,题型多样,解法多变,让人捉摸不定,其中对平面向量数量积的考查显得尤为突出.涉及平面向量数量积的有关问题,运用极化恒等式求解有时能起到出奇制胜的效果.当遇到两个同起点且角度不定、模长不定的向量,要求它们的数量积时,可以考虑利用极化恒等式这一重要结论,这也体现了数形结合这一重要的数学思想在解题中的应用.

数学实验法构造斐波那契恒等式

著名的斐波那契数列F_(n)通常定义为:F_(1)=F_(2)=1,F_(n+2)=F_(n+1)+F_(n),n为正整数,其中前10项为{1,1,2,3,5,8,13,21,34,55},这些数在后文中会反复出现.一些资料上记载了关于斐波那契数列的恒等式.这些恒等式如何得到,能不能批量生成?本文将利用数学实验的思路,通过解线性方程组,建立关于斐波那契数列的恒等式.

“双碳”目标下中国物流业碳排放影响因素与发展路径——基于扩展的Kaya恒等式和LMDI分解模型

“双碳”目标的提出标志着我国进入深度调整产业结构、加快推进产业绿色低碳转型的发展阶段。物流业作为第三产业中碳排放量最大的行业,是产业发展绿色化转型的重中之重。本文采用扩展的Kaya恒等式分解影响碳排放的因素,并以2011-2020年数据为样本,运用LMDI模型分析各因素的影响程度。研究结果表明,碳排放的影响因素可分解为碳排放强度、低碳技术、行业收入水平、从业人口规模和总人口规模。其中,低碳技术和碳排放效率对物流业碳排放起抑制作用,贡献量均值分别达到-3461.23万吨和-213.58万吨,而行业收入、从业人口规模和总人口规模对碳排放具有促进作用,均值分别是7630.76万吨、1725.07万吨和604.83万吨。因此,不断提高碳排放效率,特别是加大低碳技术发展力度,是促进中国物流业减排的有效发展路径。同时,政府和企业需要通过调整产业结构,加快推进产业绿色低碳转型,实现产业可持续发展。

类型C的Cherednik-Macdonald常数项恒等式证明

Cherednik-Macdonald常数项恒等式是根系理论、多项式理论和量子群理论交叉融合的重要成果之一。1982年,麦克唐纳受Zeilberger-Bressoud q-Dyson常数项恒等式的启发,提出了根系的常数项恒等式的猜想,并推出一个适用于各种根系的常数项恒等式。在此背景下,本文给出一个根系为类型C的Cherednik-Macdonald常数项恒等式的简洁证明。

双曲空间上p(x)-Laplace算子的Picone恒等式及其应用

Picone恒等式在偏微分方程的研究中起着重要的作用,其应用非常广泛。把欧式空间?~N中的p(x)-Laplace算子推广到双曲球模型Β~N和双曲半模型Η~N上,建立双曲空间上p(x)-Laplace算子相对应的Picone恒等式并给出这些恒等式的应用,从而把欧氏空间中变指数问题的相关结果推广到双曲空间上。

从代数恒等式到代数不等式

恒等式与不等式有着紧密的联系,由恒等式可以得到不等式,也可以通过构造恒等式来证明不等式.文章先给出生成恒等式的几种方法,然后举例说明构造恒等式在证明不等式中的应用.

方差相关恒等式与不等式——兼谈教学中的“见微知著”与“举重若轻”

从两个基本的方差恒等式出发,讨论与方差相关的一些恒等式与不等式及其应用.主要内容包括方差的非显式地依赖于期望的表示,切比雪夫序不等式(FKG不等式),用方差衡量延森不等式两边的亏损(Φ熵不等式),Bregman散度与期望的联系,由方差相关等式得到的惠更斯-莱布尼兹恒等式、第二拉格朗日恒等式等代数恒等式及其在统计学教学中的应用.最后结合本文内容简要讨论教学中应该注意“见微知著”式的启发,“举重若轻”和“删繁就简”的教学方法,以及数学各学科的融合.

四面体中的若干体积恒等式

本文将三角形中的一个面积恒等式类比到四面体中,证明了四面体中一些有趣的体积恒等式并分析了恒等式成立的条件.

例谈运用极化恒等式解答三类向量数量积问题

向量数量积问题一直是高中数学炙手可热的一类题型,求解时常用的基本方法有基底法、坐标法、图形法等,这些方法的运用具有各自的特点和局限性.有时解答一些选择或填空题,常常会因为投入过多时间和精力导致效率不高,造成得不偿失的结果.选择一些向量定理或二级结论解题,以极化恒等式为例,灵活运用公式AB→·AC→=1 AB→+AC→2-AB→-AC→2解答向量数量积4问题,不仅能快速找到解题的关键点,还能提高解题的效率.本文主要对极化恒等式解答两类不同向量数量积问题的运用进行分析,加强对极化恒等式的认识和理解,从而帮助学生快速高效地解题.

从《几何原本》中来,极化恒等式应用——基于一道教材习题的探究

通过充分挖掘高中数学教材,展示极化恒等式的来源,以及其与《几何原本》的渊源,展示极化恒等式的本质与技巧.结合高考真题实例,剖析极化恒等式在解决平面向量问题的巧妙应用,总结应用的妙处与破解技巧,展现优质教学价值与应用,引领并指导数学教学与学习.

三角形内切椭圆的几个几何恒等式

文[1]给出了三角形内切椭圆的一个几何恒等式,即命题1[1]设P,Q是△ABC的一个内切椭圆的两个焦点,则下列等式成立。

连接三角函数与不等式放缩的桥梁——从三角形中的恒等式到三角形中的不等式

三角形中的恒等式与不等式指的是在三角形中的与三个内角相关的含有三角函数的恒等式和不等式.在高中数学强基或竞赛体系中,三角形中的恒等式与不等式具有连接三角函数和不等式放缩知识的重要作用.三角形中的恒等式是很多问题的命制背景,可以建立起有关角的方程,从而求角求值.三角形中的恒等式的几何意义可以使三角函数和三角形面积、周长等几何量之间建立起联系,从而求解三角形中的角度和边长等几何量.

从三角形面积公式到正余弦定理和三角恒等式

本文将通过三角形的面积公式导出正余弦定理和三角恒等式,过程中并不需要其他新知识作为铺垫,不但能够将初中平面三角形和高中三角知识有效的衔接,也能使得后置的正余弦定理和三角恒等式更早更自然的进入学生视野,以便后期学生学习相关内容时能够有更深入的认识.

基于恒等式原理的中国钢铁工业铌资源需求预测研究

铌主要应用于钢铁的生产,含铌钢材广泛应用于航空航天、海洋工程、汽车与交通、能源化工及工程机械等高端制造领域。中国是当前世界第一大铌资源消费国,供需矛盾极为突出,严重依赖国外资源。为保障中国铌资源供应安全与钢铁产业结构调整提供依据,本文基于恒等式原理构建了钢铁工业铌资源需求预测模型,参考发达国家钢铁工业铌资源消费经验,对中国钢铁工业铌需求进行了定量预测。研究结果表明:(1)中国铌工业和钢铁工业现代化程度明显落后于发达国家;(2)典型发达国家含铌钢产量占粗钢产量比例从最低值增长至最高值呈现出一定的规律性;(3)到2030年,中国钢铁工业铌资源需求将持续增长,2025年钢铁工业铌资源需求为3.3~5.2万t、2030年为4.0~7.1万t,中国铌资源供应安全面临严峻挑战。为此,本文建议持续扩大中国铌资源海外权益产量、提高国内储量、加强铌资源提取和二次资源回收技术研发来保障国内外铌资源稳定的供应,同时推进国内铌相关产业建设。

等边三角形旋转下的两个优美恒等式及延申

几何问题令人着迷,一个简单的图形蕴含着优美的结论.笔者在研究一个几何问题时,无意中对等边三角形进行了旋转,借助面积的简单恒等关系,得到边长平方和的恒等关系,进而继续研讨,得到了其他的优美结论,最后延申了结论.

一组优美连乘三角恒等式的统一证明

先给出一个定理及其证明,然后利用该定理即可证明一组优美的连乘三角恒等式,并结合实例给出其应用.

构造离散函数证明组合恒等式

表示组合数之间关系的恒等式称为组合恒等式,它们从一个侧面反映出整数的一些基本性质,其中有不少重要的组合恒等式已成为研究数论、级数和其他数学分支的基础.组合恒等式也是组合数学理论的重要组成部分。组合恒等式的证明往往有较强的技巧[1-3].本文通过构造特殊离散函数,用两种不同的思考方法计算同一类特殊离散函数的个数,从而得到四个组合恒等式.

如何利用微分恒等式法计算随机变量的矩

本文介绍了如何利用微分恒等式法计算随机变量的矩,尤其是数学期望和方差的计算.借助该方法可以解决直接用定义很难得到的数学期望和方差或更高阶矩的计算问题,而且它也是一种数学上解决问题的一般性方法,为计算问题提供了一种新的思路.