空间型中闭超曲面的Minkowski积分公式的统一证明

用对曲率a一致的方法证明了：若M^m（a）为配有度量G=1/（1＋a/4 p^2）^2m∑i=1 du^i×du^i,p^2=m∑i=1（u^i）^2的完备化单连通黎曼模型，M为M^n＋1（a）中的闭定向超曲面，则有Minkowski积分公式∫M 4-ap^2/4＋ap^2 Hk-1dA＋∫M pHkdA=0,k=1,2…，n.其中总为M的第k个平均曲率，P为支持函数．

定积分在两点展开的渐近公式

对于具有m+n阶连续导数的被积函数的定积分,通过多次分部积分给出了在积分上限和积分下限两点处同时展开的定积分的渐近展开式,其余项类似于Taylor公式的积分型余项,这种展开式可看作是Taylor公式的一种推广.被积函数在积分上下限处的值有不同情形,展开式也会随之变化而具有多种形式.通过分析与举例也发现这种展开式的近似计算优于Taylor公式的近似计算,而且在某些积分不等式的证明中也体现了其快捷方便的优点.

指数有界双连续n阶m次积分C群的指数公式

利用经典算子半群理论中的研究方法,基于指数有界双连续n阶m次积分C群和预解式的定义,给出指数有界双连续n阶m次积分C群与其预解式间积分的表示关系,得到指数有界双连续n阶m次积分C群的指数公式,从而推广了n阶m次积分C半群的相关结果,丰富了算子半群理论的研究内容.

Stokes公式的自由度及其在计算积分中的应用

考察了Stokes公式中蕴含的自由度问题.基于这种自由度,得到了计算第二类曲面积分(或一般的流形上的积分)的分部积分法和更改被积曲面积分法的两个对偶公式.用具体例子说明了这两个公式的应用.

基于柯西积分公式的衍生探究案例教学

不同课程间的有机衔接有助于知识体系的融会贯通和深入思考的探究意识培养.基于复变函数的柯西积分公式,通过问题引导方式衍生探究,自然地将其与数学物理方程的圆域内的泊松积分公式,以及圆域上拉普拉斯方程的狄利克雷问题形成有机联系.借助该案例,有利于进一步体会柯西积分公式和调和函数的具体运用,同时初步接触后修课程数学物理方程的部分内容,削弱陌生感.

二阶常系数非齐次线性微分方程特解的一个积分公式

在二阶常系数齐次线性微分方程解(通解)的基础上,引入齐次方程基本解的概念,结合非齐次项,给出求二阶常系数线性非齐次微分方程特解的一个积分公式。用该积分公式求特解容易掌握,操作简单,思路清晰,便于教学与应用。

一道2021年全国大学生数学竞赛关于曲面积分题的研究与推广

对2021年全国大学生数学竞赛关于曲面积分题从竞赛大纲、出现的频率分值、求解方法等多个角度进行研究,给出了推广,展示了曲面积分的计算过程、技巧,加深对曲面积分计算、高斯公式、方向余弦、球坐标变换的理解、掌握和运用.

一道典型复围线积分的探讨

复变函数是理工科数学教学的一门重要基础课。复围线积分是其中最核心的内容之一,因此掌握复围线积分是最重要的能力。本文通过一道经典复积分题目的求解,对此问题进行解剖分析,举一反三,以促进对复变函数最核心的知识点——柯西积分定理,柯西积分公式,高阶导数公式,复合闭路定理及留数定理的理解和掌握,最后也给出Matlab对此类问题解决的简单方法。

一道曲线积分计算题引出的思考

通过对一道曲线积分计算题的引深、扩展,启发学生思考,掌握有奇点的曲线积分的计算.

一类新的多重积分不等式与等式的构造及其应用

首先引入二重积分的分部积分公式和柯西-施瓦茨不等式,然后利用它们构造一类新的二重积分的不等式与等式,并推广到三重积分,得到几个相关结论.最后给出几个具体应用实例,以验证其实用性.

几个特殊的定积分的计算探析

定积分计算是高等数学重要内容,其计算技巧与方法丰富且多变,常用方法有:N-L公式、分部积分法及换元积分法等,这些是常见的方法,容易理解和应用。但对于一些特殊的定积分,应用常用公式难求其值,因此,文章针对一些特殊函数定积分的计算,结合实际案例探析了巧用分部积分法、递推公式法、符号分区间法、恒等式求积分法、级数和求积分法等计算方法,旨在巧妙灵活求解定积分,节省计算时间,拓展解题思路,提高定积分的计算能力。

余元公式的一种直接证法

余元公式是数学分析中的一个重要公式,在积分学中有许多应用,但其证明往往繁琐复杂.本文通过直接计算有理函数积分证明了余元公式,适宜于数学分析课程中讲解,以供广大师生们参考.

一类第二型曲线积分的四种计算方法

针对一类第二型曲线积分的计算问题,本文给出了四种计算方法.总体上这四种解法可归纳为三类:第一类是转化为第一型曲线积分,第二类是积分路线参数化,第三类是化曲线积分为曲面积分的Stokes方法.通过这些解法的讨论,有利于启发和提高学生综合分析问题的能力.

超空间中次正则函数的Cauchy积分公式

在本文中,首先给出了超空间中次正则函数(sandwich方程D_(x)fD_(x)=0的解)的一些性质,然后证明了超空间中的Cauchy-Pompeiu公式,最后得到了超空间中的Cauchy积分公式和Cauchy积分定理.

带自由边界超曲面上Minkowski公式的推广

该文推广了空间形式中测地球内带自由边界的超曲面上的Hsiung-Minkowski公式.作为应用,得到了一些Alexandrov型刚性结果.

利用Green公式计算二重积分

二重积分的计算一直都是高等数学教学的核心内容之一.基于被积函数齐次性的特点,结合Green公式,给出了将闭区域上二重积分转化为边界上曲线积分的计算公式以及其特殊情形.将二重积分转化为一重积分,降维使得计算更加地便捷简化;另一方面,该结论又提供了一种计算二重积分的新途径,特别是可以用来求解部分利用常规方法难于求解或计算繁杂的二重积分,这使得该方法具有更大的优势.最后,通过一些典型性算例证实理论的有效性.

广义L_(p)-混合弦长积分的Brunn-Minkowski型不等式与逆循环不等式

研究凸几何分析中星体的广义L_(p)-混合弦长积分,建立关于广义L_(p)-混合弦长积分的两类Brunn-Minkowski型不等式和一类逆循环不等式.

无界域上全纯Cliffordian函数的若干性质及其Cauchy型积分的边值特性

首先介绍了定义于Euclidean空间,取值于实Clifford代数的全纯Cliffordian函数.然后利用正则函数的性质讨论了全纯Cliffordian函数的若干性质和空间性质.主要借用第一类拟置换得出全纯Cliffordian函数的等价条件,研究了它与正则函数之间的关系.接下来以Cauchy积分公式和Plemelj公式为基础,得出了开拓定理.最后定义了无界域上的Cauchy型积分,并证得它在Cauchy主值意义下收敛.同时利用一些重要的积分估值得出了无界域上的Plemelj公式.

累积疲劳损伤的数值积分算法

提出了采用高斯-勒让德公式进行数值积分的累积疲劳损伤计算方法,该方法通过对包含当量载荷概率密度函数的不可积被积函数进行数值积分来计算累积疲劳损伤。以16Mn和60Si2Mn两种材料为研究对象,基于正态分布和威布尔分布两种常见的当量载荷分布形式,采用试验设计法对算法进行了验证,结果表明,采用高斯-勒让德公式进行数值积分的累积疲劳损伤算法是正确和有效的;同时与传统的八级载荷法进行了对比分析,结果表明,在连续或准连续载荷谱作用下,采用八级载荷分级法计算累积疲劳损伤会出现较大的偏差率,并且偏差率不稳定,相比于八级载荷法,高斯数值积分法是一种更优的累积疲劳损伤计算方法,可以极大地提高累积疲劳损伤的计算精度。

一阶比耐公式与进动角

在通常的比耐公式的基础上,提出一阶比耐公式,指出其重要性在于能完全确定轨道形状.然后给出了应用实例,并将其用于进动角的求解,并填补了郎道教材讨论进动角时缺失的逻辑细节.