Morse引理的进一步推广

设En是0∈R^n的C^∞函数环，M是En中唯一的极大理想，如果f∈M^2，其二阶Hessain是非退化 ，则f同构于其二阶Hessain，这就是著名的Morse引理。本节将讨论两个变元 的C^∞函数芽。得到：（1）若f∈M^2k+1包含于Exy，其中2k+1阶Hessain是非退化的，在一般情况下不会同构于它的2K+1阶Hessaibn，但给f加上一定条件后，则f同构于它的2K+1阶Hessain。（2）若f∈M^2k+2包含于Exy,其2k+2阶Hessain是非退化的，在一般情况下f不会同构于它的2k+2阶Hessain，但给f加上一定条件后，f同构于它的2k+2阶Hessain，其中k∈N。当k=1时，就是参考文献^[2]的结论，这在某种意义上来说是他的结论的进一步推广。

Morse引理的一个推广

设Ｅｎ是在０∈Ｒ~ｎ的Ｃ函数芽环，Ｍ是Ｅ_ｎ中唯一的极大理想．如果ｆ∈Ｍ~２且其二阶Ｈｅｓｓａｉｎ是非退化的，则ｆ同构于它的二阶Ｈｅｓｓａｉｎ，这就是著名的Ｍｏｒｓｅ引理，本文将讨论两个变元的Ｃ~∞函数芽，得到：（１）若ｆ∈Ｍ~３∈Ｅ_(ｘｙ)，且其三阶Ｈｅｓｓａｉｎ是非退化的，则ｆ同构于它的三阶Ｈｅｓｓａｉｎ。 （２）若ｆ∈Ｍ_４∈Ｅ_(ｘｙ)，其四阶Ｈｅｓｓａｉｎ是非退化的，则ｆ同构于它的四阶Ｈｅｓｓａｉｎ．显然，这是Ｍｏｒｓｅ引理的一种推广．

高阶Morse芽的存在性

本文研究了多元C∞函数芽环中高阶Morse芽的存在性问题.利用由函数芽的偏导数生成的理想和C∞函数芽上的右等价关系,获得了在C∞函数芽环中,除了二元C∞函数芽环中有三阶和四阶的Morse芽以后,不再存在其它的Morse芽.以致在三元以上的C∞函数芽环中Morse引理不能推广到较高阶的情形.

同构于三阶及四阶Hessain的两个变元的C~∞函数芽

设En是在0∈Rn的C∞函数芽环，M是En中唯一的极大理想．如果f∈M2且其二阶Hessain是非退化的，则f同构于它的二阶Hessain是非退化的，则f同构于它的二阶Hessain，这就是著名的Morse引理．本文将讨论两个变元的C∞函数芽，得到：（1）若f∈M3Exy，且其三阶Hessain是非退化的，则f同构于它的三阶Hessain．（2）若f∈MEXy，其四阶Hessain是非退化的，则f同构于它的四阶Hessain．显然，这是Morse引理的一种推广．

共形几何学的最近进展

本书是关于共形几何学研究的新的前沿性结果的专著，系统全面地给出两位作者近十余年来的研究成果，其中一些结果是首次公开发表。研究工作包括两个部分：变号Yamabe型问题和接触形式几何。全书分2章，分别论述这两部分。在第1章中，作者建立了变号Yamabe型问题在无穷远处的Morse引理，以此作为此项研究的新的基础，从而开拓了非线性分析的一个新方向。作者给出一系列估值和一些新的技巧，对于其他某些变分问题（如Einstein或Yang—Mills方程）也是有用的；第2章中作者通过Legendre曲线研究接触形式几何，证明了关于Legendre曲线上的变分问题的一个基本的紧性结果，从而伴随接触结构及其在三维流形上的核的矢量场可以定义一个同调，它在接触形式的形变下不变并且是可计算的，于是引进这个研究领域一个实用工具，这两章实际上是两篇独立的长篇研究论文。