NIC-平面图中轻风筝的存在性

将K1,3任意两点连接起来所形成的图形称为风筝.设H是一个连通图,G∧是一个图类,如果对任意的G∈G∧,G包含一个子图K,K同构于图H,且满足maxx∈V(K){d(G)(x)}≤th<∞∑x∈V(K){d(G)(x)}≤tw<∞那么称H为G∧的轻子图.如果H是一个风筝,就称H为轻风筝.利用权转移方法研究了NIC-平面图中轻风筝的存在性,证明了每个最小度至少为5并且最小边度至少为11的NIC-平面图含有一个最大度至多为29的风筝.

NIC-平面图中的轻边存在性及其定向染色

如果一个图G画在平面上有交叉c,则该交叉可以与产生它的两条边所关联的4个顶点所构成的点集合{v_1,v_2,v_3,v_4}建立一个对应关系θ:c→{v_1,v_2,v_3,v_4}。如果对于G中任何两个不同的交叉(如果存在的话)c_1与c_2都有|θ(c_1)?θ(c_2)|≤1,则称图G为NIC-平面图。证明了每个围长至少为5且最小度为4的NIC-平面图含有一条边,其2个顶点的度数都是4,从而每个围长至少为5的NIC-平面图的定向染色数至多为67。

NIC-平面图的存活率

假设火在图G的某个顶点燃起,消防员每步最多可以防护k个顶点,然后火蔓延到所有未被防护的邻点.当火随机地在图G的一个顶点燃起时,消防员最多能防护的顶点数的平均比率称为图G的k-存活率,记为ρk(G).如果图G能画在平面上使得每两对交叉边至多有一个公共顶点,那么称G是NIC-平面图.本文证明了NIC-平面图G有ρ5(G)> 1/73.

1-平面图及其子类的染色

如果图G可以嵌入在平面上,使得每条边最多被交叉1次,则称其为1-可平面图,该平面嵌入称为1-平面图.由于1-平面图G中的交叉点是图G的某两条边交叉产生的,故图G中的每个交叉点c都可以与图G中的四个顶点(即产生c的两条交叉边所关联的四个顶点)所构成的点集建立对应关系,称这个对应关系为θ.对于1-平面图G中任何两个不同的交叉点c_1与c_2(如果存在的话),如果|θ(c_1)∩θ(c_2)|≤1,则称图G是NIC-平面图;如果|θ(c_1)∩θ(c_2)|=0,即θ(c_1)∩θ(c_2)=?,则称图G是IC-平面图.如果图G可以嵌入在平面上,使得其所有顶点都分布在图G的外部面上,并且每条边最多被交叉一次,则称图G为外1-可平面图.满足上述条件的外1-可平面图的平面嵌入称为外1-平面图.现主要介绍关于以上四类图在染色方面的结果.

三类超越可平面图的结构及其约束数

如果一个图可以嵌入在平面内使得每条边最多被交叉一次,则称该图为1-可平面图.如果一个图可以嵌入在平面内使得任何两个交叉不共享关联点,则称该图为IC-可平面图.如果一个图可以嵌入在平面内使得任何两个交叉最多共享一个关联点,则称该图为NIC-可平面图.1-可平面图,IC-可平面图与NIC-可平面图是三类重要的超越可平面图,它们在模块网络,社交网络和生物网络上有着重要的应用.图的约束数是为了使图的支配数严格增加所需要删除的最少的边数,它是衡量网络脆弱性的一个重要参数.本文考虑1-可平面图,IC-可平面图与NIC-可平面图的结构,并利用得到的结构定理证明了它们的约束数分别最多是13,11与12.