关于优美指数的A.Murthy猜想

若一个整数m可表为正整数n与它的除数函数d(n)之商,则称m为优美指数。文章证明了,存在无穷多个正整数m不是优美指数,从而否定了A.Murthy的猜想,并提出了若干个关于非优美指数的猜想。

关于非优美指数的一些结论

给出1个判断正整数是非优美指数的充要条件,并应用该充要条件论证2个猜想,证实其中一个猜想成立另一个猜想不成立.

关于优美指数的新结论

若一个正整数m可表为正整数n与它的除数函数d(n)之商,则称m为优美指数.本文证明了,存在无穷多个正整数m不是优美指数,从而否定了A.Murthy的猜想,并提出了若干个关于非优美指数的猜想.

关于优美指数的一个猜想

证明了64不是优美指数.

形如p^(kp-1)的非优美指数

利用除数函数的性质,证明了若素数p≥11,正整数k满足1≤k≤(p-3)p,则pkp-1为非优美指数,存在无穷多个非优美指数,再次否定了A.Murthy猜想.

奇素数幂中的优美指数猜想

对于不小于7素数p,设1≤k≤p-1,则使用同余方法可证明方程n=pkp-1d(n)无正整数解,从而pkp-1不是优美指数,进而可以肯定"存在无穷多个正整数不是优美指数".

关于优美指数的确定

利用除数函数的性质及初等方法,得到了一系列重要结论:(1)任何素数都是优美指数;(2)若t=2s-s-1(s为非负整数)或t=2s.3-s-1(s为非负整数)或t=2sp-s-2(s为非负整数,p为奇素数)或t=p1p2…ps-s-1(s为大于1的正整数,p1,p2,…,ps为适合p1<p2<…<ps的奇素数)或t=2spq-s-3(s为正整数,p、q为不同的奇素数)或t=3p-2(p为大于3的素数)或t=2sp2-s-2(s为非负整数,p为大于3的素数)或t=2sp3-s-3(s为非负整数,p为奇素数),则2t都是优美指数。在此结论的基础上,我们猜想:t=6,10,14,22,25,28,33,34,44,46,53,56,58,60,61,63,68,70,73,75,76,78,80,86,93,94,97,100时,2t都不是优美指数;(3)设p为奇素数,若t=ps-s-1(s为非负整数)或t=ps.3-s-1(s为非负整数,p>3),则pt都是优美指数。

形如15p的非优美指数

目的正整数n的因子与除数函示数d(n)的问题,是数论中最基础、最重要的内容之一,有许多猜想与问题.若一个整数m可表示为正整数n与它的除数函数d(n)之商,则称m为优美指数.A.Murthy定义了优美指数的概念,文章研究了非优美指数.方法利用除数函数的定义和初等方法.结果证明了若p为素数,p≠0则15p为优美指数.结论存在无穷多个正整数m不是优美指数,否定了A.Murthy的猜想,证实了蒲永锋、杨仕椿的一些猜想。

六个无平方因子积的优美指数

讨论了m6=p1Lp6(pi为相异的素数)的优美指数问题。