Omega Model of Standard Calculus

本书中有两个发现和十七个成果。其中有十二个成果是关于当代数学的,另外的五个是解决了五个公元前250-550年之间的历史难题。发现之一是:本书系统地研究了不可分量(实数的空集合)及其性质。发现之二是:本书发现了标准微积分学的新模型-欧弥伽连续统模型。为了说清楚关于当代数学的十二个成果,令R代表实数集合且r∈R是任意的,这十二个成果是:Ⅰ.本书证明了实数集合不能填满一条建立了固定标架的欧几里德直线;Ⅱ.对确定了标架的Euclid直线L进行了完整的微分分拆,即L={-∞的右单子∪r的左单子∪r∪r的右单子∪∞的左单子}=欧弥伽连续统ΩΠ,并对无穷小量的积分建立了三条公理;Ⅲ.令ω代表r的左单子和r的右单子的共同测度,在标准数学中证明了ω是R之外的正无穷小;Ⅳ.对若当,卡拉特欧多里和勒贝格测度论中的两条公理给出了宇观的、宏观的和微观的反例,并给出了欧弥伽极限协调性测度的新概念;Ⅴ.由单个自然数的测度为零证明了自然数集合N的测度也等于零;并且由单个实数的测度为零证明了实数集合R的测度等于零;Ⅵ.在ΩΠ中定义了序和算术运算;Ⅶ.把外尔斯特拉斯极限改进为欧弥伽极限;Ⅷ.把狄特金分割改进为欧弥伽分割;Ⅸ.把康托连续统改进为欧弥伽连续统;Ⅹ.在ΩΠ中给出了欧弥伽定积分的定义;Ⅺ.