Pell方程组x^(2)-40y^(2)=1与y^(2)-Dz^(2)=9的公解

设D=2p_(1)⋯p_(s)(1≤s≤4),其中p_(1),⋯,p_(s)是互不相同的奇素数。主要利用奇偶分析、同余、递归序列以及Pell方程解的性质等初等方法,对Pell方程组x^(2)-40y^(2)=1与y^(2)-Dz^(2)=9的公解进行研究。得出当D≠2×7×103时,该方程组仅有平凡解(x,y,z)=(±19,±3,0);当D=2×7×103时,除了平凡解(x,y,z)=(±19,±3,0)外,还有非平凡解(x,y,z)=(±27379,±4329,±114)。研究结果丰富了这类Pell方程组整数解的研究内容。

Pell方程组x^(2)-33y^(2)=1与y^(2)-Dz^(2)=16的公解

利用奇偶分析、递归序列、同余和Pell方程的解的性质等一些初等方法,对D=2p1……ps(1≤s≤4),其中p1,…,ps是互不相同的奇素数时,Pell方程组x^(2)-33y^(2)=1与y^(2)-Dz^(2)=16的公解进行了研究.得到除开D=2×7×151,方程组有非平凡解(x,y,z)=(±48599,±8460,±184)这一基本情况之外,仅有平凡解(x,y,z)=(±23,±4,0),从而推进了这类Pell方程组整数解的研究.

关于Pell方程组x^(2)-39y^(2)=1与y^(2)-Dz^(2)=16的公解

利用同余、递归序列的方法以及Pell方程解的性质,证明了Pell方程组x^(2)-39y^(2)=1与y^(2)-Dz^(2)=16的公解,情况如下:(1)当D=2^(n)(n∈Z^(+))时,方程组只有平凡解(x,y,z)=(±25,±4,0);(2)当D=2p_(1)…p_(s)(1≤s≤4,p_(1),…,p_(s)是互异的奇素数)时,除开D=2×1249,方程组有非平凡解(x,y,z)=(±62425,±9996,±200)外,仅有平凡解(x,y,z)=(±25,±4,0).

关于Pell方程组X^(2)-m(4m+1)Y^(2)=1和Y^(2)-bZ^(2)=16的解数

利用Ljunggren的一个结论和第一类Lucas序列的本原素因子的若干结果证明:如果m和b是正整数,且b=2p或2pq(p,q为互异的奇素数),那么Pell方程组X^(2)-m(4m+1)Y^(2)=1和Y^(2)-bZ^(2)=16至多有一组正整数解(X,Y,Z)。

Pell方程x^(2)-11y^(2)=1和y^(2)-Dz^(2)=9的公解

研究了Pell方程x^(2)-11y^(2)=1和y^(2)-Dz^(2)=9的公解问题,这里D为不含平方因子的偶数且至多包含4个奇素因子。利用递推序列、Pell方程及四次丢番图方程解的性质证明了方程当D=2×199时仅有公共正整数解x=3 970,y=1 197,z=60;当D取值为其他情形时仅有公解x=±10,y=±3,z=0。

Pell方程ax^2-by^2=1的最小解

应用连分数的相关知识得出了形如ax2-by2=1(a,b∈Z+,a>1,ab为非平方的正整数)型Pell方程的最小解的两种求解方法.

Pell方程x^2-Dy^2=±2的解的递推性质

在各类不定方程中,Pell方程x2-Dy2=N是一类基础而重要的Diophantine方程,其正整数解与实二次域的基本单位以及其它代数数论理论有密切联系,对解高次丢翻图方程以及有关递推数列问题有广泛且深入的应用.利用Pell方程的基本解的性质,对方程x2-Dy2=±2的通解进行了讨论,获得了该方程解的一个三阶递推性质,证明了文献(A.Tekcan.Irish.Math.Soc.Bulletin,2004,54(1):73-89.)提出的一个猜想.最后,提出了关于Pell方程x2-Dy2=-2可解性的一些待解决的问题.

关于Pell方程组x^2-2y^2=Y^2-bz^2=1的解数

设a,b是给定且不相等的正整数.我们研究了联立Pell方程组x^2-ay^2=1,y^2-bz^2=1的正整数解(x,y,z)的个数.本文运用Bennett关于联立Padé逼近的一个结果和对数线性型的下界估计,证明了当a=2时,该方程组至多有1组正整数解(x,y,z).

关于Pell方程qx^2-(qn±6)y^2=±1(q是素数)

运用Legendre符号和同余的性质给出了形如qx2-(qn±6)y2=±1(q是素数)型Pell方程无正整数解的4个结论.这些结论对研究狭义Pell方程x2-Dy2=±1(D是非平方的正整数)起了重要作用.

Pell方程x^2-Dy^2=-1可解性的一个判别条件

Pell方程x 2Dy2=1可解性的一个判别,是一个非常有意义的问题.本文运用Pell方程x 2Dy2=1的解的基本性质,给出了Pell方程x 2Dy2=1可解性的一个判别条件,并给出了一些有用的推论.

关于Pell方程x^2-2y^2=1与y^2-Dz^2=4的公解

设p1,…,ps是不同的奇素数,证明了当D=2p1…ps,1≤s≤6时,除了D为2×17,2×3×5×7×11×17及2×17×113×239×337×577×665857外,不定方程组仅有平凡解(x,y,z)=(±3,±2,0).

关于Pell方程ax^2-mqy^2=±1(m∈Z^+,a为奇数,q为素数)

给出了形如ax2-mqy2=±1(m∈Z+,a为奇数,q为素数,amq为非完全平方数)型Pell方程无正整数解的几个结论.

关于Pell方程x^2-5(5n±2)y^2=-1(n≡-1(mod4))

讨论了形如x2-5(5n+2)y2=-1(n∈Z+,n≡-1(mod4),5n+2为素数)与x2-5(5n-2)y2=-1(n∈Z+,n≡-1(mod4),5n-2为素数)型Pell方程有正整数解的两个结论.

关于Pell方程ax^2-mqy^2=±1(m∈Z^+,2︱a,q≡±1(mod4)是素数)

Pell方程ax2-by2=±1(a,b∈Z+,a,b不是完全平方数)可解性的判别是一个非常有意义的问题.运用Legendre符号和同余的性质给出了形如ax2-mqy2=±1(m∈Z+,2 a,q≡±1(mod4)是素数,a,m,q是非完全平方数)型Pell方程无正整数解的几个结论.这些结论对研究狭义Pell方程x2-Dy2=±1(D是非平方的正整数)起了重要作用.

关于Pell方程px^2-(pn±2)y^2=±1(p≡-1,±3(mod8)是素数)

Pell方程ax2-by2=±1(a,b∈Z+,ab不是完全平方数)可解性的判别是一个非常有意义的问题.运用Legendre符号和同余的性质给出了形如px2-(pn±2)y2=±1(p≡-1,±3(mod8)是素数)型Pell方程无正整数解的6个结论.这些结论对研究狭义Pell方程x2-Dy2=±1(D是非平方的正整数)起了重要作用.

运用Mathematica4软件包求解Pell方程的方法

介绍如何在Mathematica4软件包中编程求解Pell方程的最小正整数解.我们得到阿基米德问题,即Pell方程X2-410286423278424Y2=1的最小正整数解,这是10万位级的一对整数.

关于Pell方程组x^2-2y^2=1,y^2-Dz^2=4

设p,q,ri均为相异奇素数,且p≡1(mod8),q≡3(mod8),ri≡ 5或7(mod8).证明了Pell方程组x2-2y2=1,y2-Dz2=4当D=2pq lⅡi-1ri时,除了D=34时仅有非平凡解z=±12外,其他情形仅有平凡解z=0.

关于Pell方程组解的上界估计

运用Ｂａｋｅｒ方法给出Ｐｅｌｌ方程组Ｘ￣２－Ａｙ￣２＝１，ｙ￣２－Ｂｚ￣２＝１解的上界估计。

Pell方程组x^2-ay^2=1和z^2-by^2=1的解数

设a,b是不同的正整数,本文证明了:当max(a,b)>10126时,Pell方程组X2-ay2=1 和z2-by2=1至多有2组正整数解(X,y,z).

关于Pell方程 x^2-2y^2=1和 y^2-DZ^2=4的公解

我们研究了 Pell 方程 x^2-2y^2=1和 y^2-Dz^2=4的公解,这里 D=p 或 pq,得到了完整的结果,即当 D=p 或 pq(其中 p、q 为不同的素数)时,上述方程仅有的非平凡解(xyz≠0)为当 p=5,q=7时 x=17,y=12,z=2,由此立即得到 S.P.Mohanty,A.M.S.Ramasamy 在 J.Namber Theory(18)(1984),356-359中的定理,即方程 x^2-2y^2=1和5y^2-z^2=20仅有平凡解 z=0,而且这里的方法也与他们的不同。