Application of the Homotopy Perturbation Method to Nonlinear Heat Conduction and Fractional Van der Pol Damped Nonlinear Oscillator

In this paper, a powerful analytical method, called He’s homotopy perturbation method is applied to obtaining the approximate periodic solutions for some nonlinear differential equations in mathematical physics via Van der Pol damped non-linear oscillators and heat transfer. Illustrative examples reveal that this method is very effective and convenient for solving nonlinear differential equations. Comparison of the obtained results with those of the exact solution, reveals that homotopy perturbation method leads to accurate solutions.

Analytical Solution of Van Der Pol’s Differential Equation Using Homotopy Perturbation Method

In this research work, Homotopy perturbation method (HPM) is applied to find the approximate solution of the Van der Pol Differential equation (VDPDE), which is a well-known nonlinear ODE. Firstly, the approximate solution of Van Der Pol equation is developed using Dirichlet boundary conditions. Then a comparison between the present results and previously published results is presented and a good agreement is observed. Finally, HPM method is applied to find the approximate solution of VDPDE with Robin and Neumann boundary conditions.

Application of Homotopy Perturbation Method and Parameter Expanding Method to Fractional Van der Pol Damped Nonlinear Oscillator

In this study, homotopy perturbation method and parameter expanding method are applied to the motion equations of two nonlinear oscillators. Our results show that both the (HPM) and (PEM) yield the same results for the nonlinear problems. In comparison with the exact solution, the results show that these methods are very convenient for solving nonlinear equations and also can be used for strong nonlinear oscillators.

具有时滞耦合的n个van der Pol振子弱共振双Hopf分岔

研究了具有时滞耦合的n个van der Pol振子系统中发生的弱共振双Hopf分岔.应用改进的多尺度方法,得到了2∶5共振的复振幅方程.通过将复振幅设为极坐标形式,将复振幅方程转化为一个二维的实振幅系统.通过研究实振幅方程的平衡点及其稳定性,对系统在2∶5共振点附近的动力学行为进行了开折和分类.得到了一些有趣的动力学现象,如振幅死区、周期解和双稳态解等,相应的数值模拟验证了理论结果的正确性.

联合Duffing方程和Van der Pol方程的非线性分数阶微分方程(英文)

本文研究了Adomian分解方法在非线性分数阶微分方程求解中的应用. 利用Riemann-Liouville分数阶导数和Adomian分解方法, 将Duffing方程和Van der Pol方程联合在一个分数阶方程中,并获得了此方程的解析近似解.

一类Duffing-Van der Pol方程的混沌

研究了带线性恢复力和外力激励的Duffing-Van der Pol方程,该系统由未扰动系统经拟周期扰动而得.应用动力系统的分支理论,Melnikov方法,二阶平均方法和混沌理论,得到该系统的平均系统产生混沌的准则,数值模拟验证理论结果正确.

宽带噪声激励下含分数阶导数的van der Pol-Duffing振子的可靠性

为了研究宽带噪声激励下含分数阶导数的van der Pol-Duffing振子的首次穿越问题,首先应用广义谐波平衡技术,将分数阶导数表示的回复力分解为等效拟线性阻尼力和拟线性回复力,获得不含分数阶导数的等效非线性随机系统;然后,应用随机平均法将等效非线性随机系统近似为一维扩散过程,再建立和求解相应的后向Kolmogorov方程,获得系统的条件可靠性函数和平均首次穿越时间计算式;最后,通过实验结果表明,所提方法与蒙特卡罗法模拟结果吻合得非常好;系统的可靠性随分数阶数的增加而提高;分数阶导数表示的回复力不能简单地当作一类特殊的阻尼力.

谐和与随机噪声联合作用下VanderPol-Duffing振子的参数主共振

研究了VanderPol_Duffing振子在谐和与随机噪声联合激励下的参数主共振响应和稳定性问题· 用多尺度法分离了系统的快变项 ,并求出了系统的最大Liapunov指数和稳态概率密度函数 ,还分析了失稳、分叉和跳跃现象 ,讨论了系统的阻尼项、非线性项。

两自由度耦合van del Pol振子周期解的同伦分析方法

应用同伦分析方法,研究了两自由度耦合vandel Pol振子周期解的问题。与传统方法不同,同伦分析方法不依赖于小参数,并提供了一个简便的途径确保级数解的收敛。比较同伦分析方法与四阶Runge-Kutta法(数值解)表明,通过同伦分析方法得到的四阶解析近似能有效地逼近数值解。

Duffing-Van der pol系统的Hopf分岔

将保守Duffing系统作为未扰系统,并对它分四种情形进行了严格求解。用Melnikov函数方法研究了Duffing-Vanderpol系统的次谐分岔,获得了Duffing-Vanderpol系统的Hopf分岔条件。根据这些条件,在参数空间中确定了Hopf分岔曲线。在分岔曲线上取参数进行了数值模拟,所获得的奇、偶阶Hopf分岔与理论分析的结果完全一致。

含外激励van der Pol-Mathieu方程的非线性动力学特性分析

本文针对含有自激励,参数激励和外激励等三种激励联合作用下van der Pol-Mathieu方程的周期响应和准周期运动进行分析,发现其准周期运动的频谱中含有均匀边频带这一新的特性.首先,采用传统的增量谐波平衡法(IHB法)分析了van der Pol-Mathieu方程的周期响应,得到了其非线性频率响应曲线;再利用Floquet理论对周期解进行稳定性分析,得到了两种类型的分岔及它们的位置.然后,基于van der Pol-Mathieu方程准周期运动的频谱中边频带相邻频率之间是等距的且含有两个不可约的基频的特性(其中一个基频是已知的,另一个基频事先是未知的),推导了相应的两时间尺度IHB法,精确计算出van der Pol-Mathieu方程的准周期运动的另一个未知基频和所有的频率成份及其对应的幅值,尤其在临界点附近处的准周期运动响应.得到的准周期运动结果和利用四阶龙格-库塔(RK)数值法得到的结果高度吻合.最后,研究发现了含外激励van der Pol-Mathieu方程在不同激励频率时的一些丰富而有趣的非线性动力学现象.

多频激励下vander Pol系统主参数-组合共振

应用多尺度法分析了 van der Pol系统受参数激励和多频强迫激励联合作用下的主参数 -组合共振 ,求得了稳态响应的分岔方程 ,应用奇异性理论进行分析 ,得到了系统稳态响应的转迁集和分岔图 ,并分析了原系统参数对普适开折参数的影响。研究表明 ,该系统的稳态响应为一叉型分岔 ,激励幅值 F1 ,F2 和阻尼 μ对普适开折参数的影响很大 ,通过调整 F1 ,F2 和 μ可以很方便地控制解的分岔特性。

具有限时滞Van der pol方程Hopf分支的数值逼近

研究了欧拉方法对以滞量为参数的具有Hopf分支的Van der pol方程的数值逼近问题。首先,利用欧拉方法将得到的时滞差分方程表示为映射,然后以滞量为分支参数,利用离散动力系统的分支理论,在Van der pol方程具有Hopf分支的条件下,给出了差分方程Hopf分支存在的条件及连续系统与其数值逼近间的关系,证明了当该系统在r=r0产生Hopf分支时,其数值逼近也在相应的参数rh处具有Hopf分支,并且rh=r0+o(h).

Van der Pol-Duffing单边约束系统的随机响应

研究了Van der Pol-Duffing单边约束系统在谐和与随机噪声联合激励下的响应问题。用多尺度法分离了系统的快变项,讨论了系统的阻尼项、非线性项和随机项等参数对系统响应的影响。在一定条件下,当约束距离较大时对应于不同的初始条件,系统具有两个非碰撞的稳态响应;而当约束距离不大时,对应于不同的初始条件,系统也可以有两个不同的稳态响应,其中一个是发生碰撞的响应,而另外一个则不发生碰撞。随机扰动可以使得系统的响应从一个极限环变为一扩散的极限环。数值模拟表明本文提出的方法是有效的。

Duffing-Van der Pol系统的复杂动态行为(英文)

应用分支理论和Melnikov方法,研究了具有线性恢复力和外部激励的Duffing-Van der Pol系统的复杂动态,得到了周期扰动下混沌动态存在的临界值,并进行了数值模拟,不仅验证了理论结果,并且得到了一些新的复杂动态.

双时滞van der Pol方程的数值Hopf分支

研究Runge-Kutta方法对以时滞为参数的双时滞van der Pol方程的数值Hopf分支问题。证明当该方程分支参数值在τ1=τ01处产生Hopf分支时,其数值解相应地在分支参数值τ1*=τ01+O(hp)处产生Hopf分支(p为Runge-Kutta方法的方法阶),且以解析解的分支参数值为极限,从而论证了双时滞van der Pol方程数值解保持其原解析解的动力学特性。

广义分数阶van der Pol-Duffing振子的动力学响应与隔振效果研究

用平均法研究了含分数阶导数项的van der Pol-Duffing振子的动力学行为和力传递率。得到了主共振时振子的一阶解析解、定常解幅频曲线和相频曲线的解析表达式,进一步通过与数值解作对比,验证了解析解的正确性,分析了不同参数对幅频曲线和力传递率的影响。结果表明:解析解与数值解吻合良好;在无量纲情况下,共振区分数阶项系数、非线性参数、分数阶阶次、阻尼比对幅频曲线和力传递率的共振峰值均有抑制作用;不同频率区段参数对隔振效果的影响不同,在低频隔振区非线性参数和幅值越小隔振效果越好,此外阻尼比对力传递率影响很小;在高频隔振区增大非线性参数、幅值和阻尼比有助于提高隔振效果。

Van der Pol振动系统同步时间与反馈增益的关系

在受迫Van der Pol振动系统的近似解的基础上,获得驱动系统的虚拟轨线.将虚拟轨线代入驱动-响应振动系统的近似误差方程,再用多尺度法求得同步时间关于反馈增益的分析表达式,并且将数值与分析结果进行比较表明:用该方法求得的同步时间与反馈增益的关系和数值模拟结果相当一致.这方法也适用于研究自激Van der Pol振动系统.

具周期外力的Van der Pol方程的周期解

运用建立在包络理论上的重正化群方法,给出了具周期外力Van der Pol方程脉冲型解的一致有效逼近及脉冲型解形成一个脉冲所用的时间.

Van der Pol方程极限环的摄动—迭代解法

本文应用摄动—迭代解法研究ＶａｎｄｅｒＰｏｌ方程，可以依据定的精确度求出极限环的方程，与数值积分法作了比较。