无穷观问题的研究(Ⅳ)——自然数系统与无穷公理

本组系列论文 ( )～ ( )从数学和认识论的角度系统地研究了无穷观问题的历史发展和现状 ,确立了无穷观背世界的三分法原则 ,指出了两种无穷观相互排斥的局限性 ,形成了统一两种无穷于同一框架中的基本观点 ,并建立了一个统一实无限与潜无限于同一框架中的公理集合论系统 APAS。

Peano公理系统不完备性的再证明──费尔马猜想成立

本文再次严格证明了Peano公理系统的不完备性。用PRC方法二,找到了费尔马猜想成立的规律（F公理）,因而能够用这一规律非常简单地证明了费尔马猜想成立。

MS 中的自然数系统

首先给出了中介逻辑ＭＬ的二值子系统ＦＩ＊ＭＬ，说明了它与经典二值逻辑的子系统ＦＩ＊同构。其次，利用中介公理集合论ＭＳ的相关理论，构造了ＭＳ中的自然数系统，证明了Ｐｅａｎｏ５条公理为ＭＳ中的定理。最后指出以此五条性质为公理，并以ＦＩ＊ＭＬ为配套逻辑，在ＭＳ中可推出自然数的所有性质。这表明Ｐｅａｎｏ自然数系统能在ＭＳ中产生，为最终证明精确性经典数学能奠基于ＭＳ提供了理论基础。

一个关于Peano公理的注记

证明了关于自然数集■的Peano公理系统中的第五条公理(即数学归纳原理)与命题I:■1≠b∈■,■a∈■∈.σ(a)=b及命题II:{1}∪σ(■)=■三者是等价的.从而,用该二命题中之任一去取代数学归纳原理而形成的公理系统与Peano公理系统等效.

一个关于Peano公理的注记(续)

证明了关于自然数集={1,2,3,…}的Peano公理系统中的第五条公理(即数学归纳原理)乃该系统中其余公理的逻辑推论.因之,可将它自该系统中删去而仅把它作为一个重要定理以优化该系统.

自然数序数理论中的几个问题——与《初等代数研究》作者商榷

本文指出余元希等所著的《初等代数研究》中关于自然数的序数理论的定理 1(自然数的加法是唯一存在的 )证明不妥 ,定理 13(最小数原理与归纳公理是等价命题 )及其证明是错误的 。

新自然数集与《数系理论》的改革问题

《中华人民共和国国家标准·物理科学和技术中使用的数学符号 (GB310 2 .11$C93)》对表示自然数集的符号N作出新的规定 :N ={ 0 ,1,2 ,… } ,即 0也是自然数。对于以Peano自然数公理系统为基础的《数系理论》课程 ,本文对于在新自然数体系下如何建立与之相应的自然数公理系统及其有关性质进行了比较全面的讨论 ,并在教学上作出了一些有益的探索。

无穷观问题的研究(Ⅱ)—从Hausdorff的直觉和Poincaré的名言到Brouwer剧场现象

本组系列论文 ( )～ ( )从数学和认识论的角度系统地研究了无穷观问题的历史发展和现状 ,确立了无穷观背景世界的三分法原则 ,指出了两种无穷观相互排斥的局限性 ,形成了统一两种无穷于同一框架中的基本观点 ,并建立了一个统一实无限与潜无限于同一框架中的公理集合论系统 APAS。

无穷观问题的研究(Ⅲ)——‘每一’与‘所有’

本组系列论文 ( )～ ( )从数学和认识论的角度系统地研究了无穷观问题的历史发展和现状 ,确立了无穷观背景世界的三分法原则 ,指出了两种无穷观相互排斥的局限性 ,形成了统一两种无穷于同一框架中的基本观点 ,并建立了一个统一实无限与潜无限于同一框架中的公理集合论系统 APAS。

悖论是一种客观存在

悖论到底是必须排除的错误,还是无法排除的一种客观存在?我认为这是值得探讨的一个问题。 如果我们把研究对象及其发展的规律性,称为一种客观存在。(注:正如参考文献(1)P253所指出的,认识的客体,作为一个系统,是自然客体,社会客体和精神客体的有机统一。其中,精神客体,是指我们把人们作为工作对象的意识等当成认识与改造的对象。这时,这种客观存在的精神,也就成为客体。这种“物化”了的精神,是精神客体的主要形式。);则悖论不以人们主观意识为转移,它是一种客观存在。

“自然珠数”能称作数的概念吗(上)——答郭启庶先生

“自然珠数”能称作数的概念吗（上）——答郭启庶先生杨六省《齐鲁珠坛》（９７．５期）刊登了笔者关于《珠数学》基础的批评文章，９８．１期又刊登了郭启庶先生的反批评文章，很高兴！否则，不允许批评，或者只刊登批评文章而不允许发表反批评文章，这才是与“双百方针...

现代西方悖论研究

为了实现把数学还原为逻辑这一逻辑主义的基本纲领,弗雷格发明了一种表意文字,并用这种文字建立了一个表达逻辑规律和推理规律的初步自足的公理系统和一个高阶的逻辑系统,借助于这两个公理系统、他用一些基本的逻辑概念严格定义了自然数,并且建立了自然数的基本性质。然而就在他的工作即将完成之际,英国逻辑学家罗素却发现,在弗雷格的公理系统中,依靠“概括原则”可以推出“不属于自身的集合的集合”的悖论。这就是著名的罗素悖论。其实“罗素悖论”并不是首次在数学中发现的悖论。早在1895年弗雷格就在自己的集合论中发现了一个悖论。1899年康托也发现了一个更简单、更基本的集合论悖论,即著名的“康托悖论”。在此之后,人们又发现了一些其他悖论。随着越来越多的悖论的发现。