常微分方程欧拉折线法的Picard迭代改进

考虑常微分方程数值解法,对欧拉折线法加以改进。主要方法是,对每个节点处局部线性近似解进行一次Picard迭代修正,用局部修正解估算下一节点处解值。证明了算法局部截断误差比欧拉折线法高一阶,分析了算法的收敛性与稳定性。通过方程实例数值计算进一步验证了本文算法所得近似解比欧拉折线法近似解更接近精确解。

基于Picard迭代原理的非线性离散系统多频输入稳态响应的计算与分析

本文应用picard迭代原理和矩阵论中范数的理论提出了一种计算非线性离散系统多频输入稳态响应的方法,并给出了非线性离散系统多频输入稳态响应的通解.这种方法将一个非线性离散系统多频输入稳态响应计算问题化成计算同一个线性离散系统在不同输入下稳态响应的问题.文章用数学推导证明给出了多频输入的非线性离散系统存在唯一稳态响应的李普希次条件,并给出了判断一个非线性离散系统是否满足规定的李普希次条件的判定方法.基于所构建的求解方法,运用MATLAB语言编制了算法程序,对典型实例进行了仿真计算.大量仿真结果表明,本文提出的方法是正确的,且收敛速度较快.

单调增加的连续函数的Picard迭代序列的收敛定理

证明了若f:[a,b]→[a,b]为单调增加的连续函数,λ∈(0,1),定义Fλ:[a,b]→[a,b],Fλx=(1-λ)x+λf(x),x1∈[a,b],xn+1=Fλxn=Fλnx1,n≥1,则{xn}单调地收敛于f的1个不动点.

非扩张映像Ishikawa迭代的稳定性及与Picard迭代的关系

得到了Ishikawa迭代过程的稳定性结果,并应用这个结果证明了如下结论:如果T在X中有惟一不动点p,且对任何初值x1∈D(T)及任意的非负整数m,Ishikawa迭代xn+1=I(T,tn+m,sn+m,xn)均收敛于不动点p,当∑∞n=1(1-tn+tnsn)<+∞时,对任何初值y1∈D(T),Picard迭代过程yn+1=Tyn必收敛于不动点p.

基于Picard迭代的PN×PN-2谱元法求解定常不可压缩Navier-Stokes方程

该文给出了一种求解二维定常不可压缩Navier-Stokes方程的基于Picard线性化迭代的PN×PN-2谱元法.通过Picard线性化将不可压缩Navier-Stokes方程的求解转化为一系列线性的Stokes-type方程,再利用非交错网格的P N×PN-2谱元法计算每个迭代步的Stokes-type方程.为了消除伪压力模,压力离散比速度离散低两阶,非交错网格的应用使得方程的离散方便且不会带来相应的插值误差,从而保证了谱精度.通过此方法数值计算了有精确解的Stokes流动、Kovasznay流动和方腔顶盖驱动流,结果表明,迭代收敛非常快,误差收敛达到了谱精度收敛,并且避免了压力震荡的出现,表明了该文方法准确可靠.

非扩展映像近似Picard迭代的收敛定理

设X是一致凸Banach空间,C是X中非空闭凸子集,T:C→C是具不动点的非扩张映像,对任意的x1∈C,存在Ishikawa迭代过程{x n}:x(n+1)=(1-tn)xn+tnT(snTxn+(1-sn)xn),tn→1,s,→0, ∞∑n-1(1-tn)<+∞的子序列{xnk},使||-Tx n k||→0 Txnk(k→∞),当映像T具紧性时,Ishikawa迭代过程{xn}强收敛于某不动点,当空间X满足Opial’s条件时,Ishikawa迭代过程{xn}弱收敛于某不动点。

概率度量空间压缩映象的广义拟Picard迭代收敛性定理的注记

文［１］第１３个定理中的条件：可去掉，应用文［２］的方法，得到与文［１］定理１３相同的结果。

不动点定理与Picard迭代数列的收敛性--不动点方法在大学生数学竞赛试题解题中的应用

给出了一类连续函数的不动点定理及其Picard迭代的收敛性.作为应用,给出了历届大学生数学竞赛试题的一种新的解答,该解答不同于官方网站或参考资料提供的标准解答,同时指出了这些试题中的共同特点是Picard迭代收敛于相应函数的不动点.

求解大型广义绝对值方程的Picard-SS迭代法

将Shift分裂迭代法作为Picard迭代法的内迭代求解器,构造了求解大规模广义绝对值方程的Picard-SS迭代法,并且详细讨论了该方法的收敛性。数值算例表明,Picard-SS迭代法在内外迭代步数和CPU时间方面都比现存迭代法更加有效。

Picard-GPHSS迭代法的局部收敛性证明

本文证明了求解弱非线性方程组的Picard-GPHSS迭代方法的局部收敛性,并通过讨论迭代法的预条件矩阵和迭代参数间接证明了求解弱非线性方程的Picard-AHSS,Picard-LHSS和Picard-HSS迭代方法是局部收敛的.

关于Z算子的几种常见迭代序列收敛速度的比较

在一般Banach空间中对Picard,Krasnoselskij,Mann,Ishikawa,Noor迭代序列之间的收敛速度进行了比较.设E为任意Banach空间,D为E的闭凸子集,T:D→D为Z算子.对5种迭代序列收敛于不动点T的快慢进行了比较,证明了6个定理.

拓扑空间中ψ-压缩映射的公共不动点定理及其迭代收敛性

目的为了完善拓扑空间中的不动点理论,扩展不动点理论的应用范围。方法在拓扑空间中引用拟度量函数,再结合拓扑空间本身的性质和某些分析技巧。结果在更一般的拓扑空间框架下,得到了一类更广泛的可交换ψ-压缩映射对的公共不动点定理。结论在拓扑空间中引入拟度量函数,可以方便地研究不动点问题,而且不动点可以通过从构造Picard迭代序列取极限而方便的求得。

辐射扩散方程的非线性迭代方法

为了提高Newton方法和Picard方法求解辐射扩散方程组的健壮性和收敛速度,介绍应用这两类方法求解辐射扩散方程组的几方面工作,包括迭代初值的选取、迭代过程物理约束的处理、Picard迭代过程与Anderson加速的结合以及针对Anderson加速方法的改进等。通过应用相关的处理和改进策略,两类方法可有效应用于非线性辐射扩散方程的求解。

带有非局部Laplace算子的饱和Schrödinger-Klein-Gordon方程的概自守动力学

迄今为止,几乎没有学者研究Schrödinger或Klein-Gordon方程的概自守动力学.该文结合Galerkin方法、Laplace变换、Fourier级数和Picard迭代研究了带有非局部Laplace算子饱和Schrödinger-Klein-Gordon方程的概自守弱解的一些结果.此外,还考虑了该方程的全局指数收敛性.

改进的Picard法在非饱和土渗流中的应用研究

Richards方程广泛应用于非饱和渗流的数值模拟以及其他相关领域。在数值求解中,可以采用有限体积法进行数值离散,进而采用Picard方法进行迭代求解。然而,为了获得可靠准确的数值解,通常均匀网格的空间步长是很小的,特别是在一些不利的数值条件下,比如降雨入渗于干燥土壤中,这往往使得迭代过程耗时,甚至不收敛。因此,结合Chebyshev形式的非均匀网格,提出了一种基于非均匀网格的两层网格校正法的改进Picard迭代方法(NTG-PI)。通过3个非饱和渗流算例,并与传统方法和解析解对比,对改进方法的数值精度、收敛率和加速效果进行了验证。结果表明,相对于传统的Picard方法和自适应松弛Picard方法,提出的方法NTG-PI可以在较少的离散节点数下获得较高的数值精度,以及较高的计算效率。该方法可以对非饱和渗流的数值模拟提供一定参考。

分数阶随机微分方程解的存在性与唯一性

研究了一类分数阶随机微分方程解的存在性与唯一性。通过运用微分方程的半离散化技术,推导出分数阶随机微分方程解的半离散化模型,利用Minkowski不等式、Holder不等式和Picard逐步逼近法,证明了半离散随机模型解的存在性与唯一性。

离散非线性薛定谔方程的1∶1共振

为研究离散非线性薛定谔方程在不动点附近的1∶1共振问题,将离散非线性薛定谔方程化为差分系统,差分系统线性算子的特征值为两重根1;然后,利用Picard迭代及时间1映射,将差分系统转换为常微分系统,推导差分系统不动点的稳定性;最后,用数学软件模拟差分系统的局部相图.研究结果表明:不动点是局部渐近稳定的.

分数阶微分方程的二维三尺度第3类Chebyshev小波法

为了求解一类非线性分数阶微分方程,基于二维三尺度第3类Chebyshev小波,提出了的一个数值解法。首先,构造了标准正交的三尺度第3类Chebyshev小波,通过叉乘,得到了标准正交的二维三尺度第3类Chebyshev小波。其次,基于平移的第3类Chebyshev多项式,借助Laplace变换,推导出了三尺度第3类Chebyshev小波的Riemann-Liouville分数阶积分公式,并给出了二维三尺度第3类Chebyshev小波展开在L2范数意义下的一致收敛性分析和误差估计。最后,利用小波积分公式,结合Picard迭代和有效的配置法,将非线性分数阶微分方程离散为代数方程组问题求解。数值算例说明了该方法的有效性和高精度性。

一类具有弱Allee效应离散捕食系统的1∶4共振

研究一类具有弱Allee效应的离散捕食系统。当参数满足一定条件时,该系统有一个正不动点,其线性算子的特征值为±i,这对应于1∶4共振。利用Picard迭代及时间1映射,将差分系统转化为常微分方程系统,讨论常微分方程系统退化平衡点附近的性质,得到该差分系统不动点附近的性质,并用数学软件模拟其局部相图。结果表明:随着参数值和扰动的变化,系统会产生稳定的焦点、“方形”异宿环、“叶形”异宿环及Neimark-Sacker分支等。