Prandtl方程整体解的存在惟一性

考虑非定常的Prandtl方程U(t,x)=xmU1(t,x),且m≥1,0≤x<L的特殊情况,在本文的条件下,所研究的方程具有奇性.首先利用Crocco变换把Prandtl方程变换成一个关于w的方程,然后将其正则化,借助于正则化以后的方程得到wε(正则化后方程的解)及其各种一阶导数的估计.利用得到的各种估计通过取极限得到了Crocco变换后方程解的存在惟一性.最后返回边界层,得到Prandtl方程全局解的存在惟一性.

二维可压缩Prandtl方程倒流点的存在性

该文研究了二维非稳态可压缩Prandtl边界层方程倒流点的存在性,在Oleinik单调性假设下,作者首先利用极值原理得到了第一个倒流点如果出现,那么一定出现在边界{y=0}上.其次,当压力满足一致逆压梯度条件并且初始值满足一定增长条件时,作者通过Lyapunov泛函方法得到倒流点的存在性.最后给出倒流点存在的实例.

二维Prandtl方程单调剪切流在Sobolev空间中的整体稳定性

考虑初值是某个关于y变量单调且长时间衰减得充分快的剪切流附近的小扰动,本文证明二维Prandtl方程在Sobolev空间中的整体适定性.本文证明的主要思路是将Masmoudi和Wong(2015)指出的非线性对消性质与Paicu和Zhang(2021)引入的能够证明解有更快长时间衰减估计的好函数结合起来.本文中需要在剪切流满足的方程中添加一个外力项,否则可以证明不存在长时间衰减足够快的单调剪切流.

Prandtl方程在Gevrey空间的适定性

Prandtl方程属于退化型方程(组),其中非局部项有一阶切向导数的损失,这是Prandtl方程典型的退化特征.证明Prandtl方程适定性理论的关键之处在于如何克服导数损失,目前主要有两个框架.第一个框架对初始值有结构性假设限制,在Oleinik单调性条件下,通过Crocco坐标变换或者采用速度方程和旋度方程之间的消去机制,来克服导数损失,进而在Sobolev空间中建立其适定性理论.第二个框架对初始值有解析正则性要求,从而可以采用抽象Cauchy-Kovalevskaya定理证明Prandtl方程在解析空间中的适定性.本文主要讨论在没有任何结构性假设条件下,如何降低初始值的解析正则性,在较弱的Gevrey空间证明Prandtl方程的适定性,侧重介绍如何结合抽象Cauchy-Kovalevskaya定理以及消去机制,在Gevrey框架下刻画切向导数的损失.

Prandtl方程的整体适定性和有限时间爆破

本文在解析框架下研究了两类Prandtl型方程的长时间适定性和爆破.对于经典Prandtl方程,本文证明了Paicu和Zhang (2011)得到的解的存在时间长度是最优的.对于从磁流体边界层模型导出的阻尼Prandtl方程,本文证明了小解析初值的整体适定性和对一类大解析初值的有限时间爆破.

Prandtl方程适定性的仿线性化方法

本文主要利用仿线性化的方法研究Prandtl方程对单调初值在Sobolev空间中的局部适定性和解的长时间存在性.相比Nash-Moser迭代方法,该方法的主要优点是对初值的相容性条件和正则性条件要求更低,且证明也更为简洁.

半平面上Euler-α方程组的边界层方程整体适定性

首先利用形式展开式得到半平面上Euler-α方程组具无滑动边界条件的边界层方程称之为Prandtl型方程.接着构造合适的解析空间,利用抽象Cauchy-Kovalevskaya定理验证该Prandtl型方程局部解的存在唯一性.最后通过求解Prandtl型方程的整体形式解,进而验证得到Prandtl型方程存在整体唯一解.

一类线性方程组的特征边界层分析

本文主要研究的是一维线性粘性抛物方程与无粘双曲方程之间的解的渐近极限。我们假定相应的无粘方程的边界是特征的,去研究粘性解与无粘解之间的关系。我们用渐近展开的方法讨论不同区域内粘性方程的近似解,并利用加权能量估计的方法讨论Prandtl 型的边界层方程解的存在性, 以证明边界层的稳定性。通过对近似解与粘性问题真实解之间的误差进行估计,我们最终得到粘性方程的解与无粘解的渐近等价关系。