《数书九章》流传新考--赵琦美钞本初探

秦九韶所著《数书九章》(1247年)是中国历史上最重要的数学著作之一。文章梳理了该书的版本源流,首次探讨了赵琦美钞本(1616年)的特色与价值,指出该本保存了筹算数学的珍贵信息,为研究《数书九章》提供了新材料。

秦九韶对大衍术的筭图表达——基于《数书九章》赵琦美钞本(1616)的分析

秦九韶的《数书九章》(1247)是中国数学史上的名篇,其所载的大衍总数术是一项世界级成就。然而,以往的数学史研究并未从文本表达形式的角度分析秦氏大衍术。从对最接近秦书足本的赵琦美钞本(1616)的分析看,秦氏对大衍术的表达运用了文字、筹码、筭图、连线等多种文本形式。一方面,秦氏著书的部分原因是为了参与宋廷改历。另一方面,秦氏认为数术分成内算与外算两部分,与历算、《周易》相关的大衍总数术属于内算,其核心算法大衍求一术则与传统方程术不同,应独立为一项数学内容。因此,依据"其用相通,不可歧二"的原则,秦氏有理由公开揭示大衍术。而且,由于筭图能够呈现算法的全部筹算过程,故而成为秦氏表达原先"算而不书"的大衍术的最佳工具。总之,通过分析秦九韶的著书动机、天文历算与传统数学的差异、筭图与连线的功能,我们可以全面理解秦氏记述大衍术的历史事实。

秦九韶演纪积年法初探

上元积年的推算是古代历法的重大课题。秦九韶《数书九章》（１２４７年）治历演纪题系统阐述上元积年演算法，是行用上元积年的一千五百多年间唯一流传至今的珍贵史料。该文中分析秦九韶演纪积年法原术文及其意义，推测开禧历（１２０７年）演纪积年法中用“方程”求元数法的大概面貌，指出秦九韶在１２４７年已经接触到并实现了用一次同余式解ａｘ－ｂｙ＝ｃ型的不定方程。

秦九韶“历家虽用,用而不知”解

《数书九章》所载之大衍总数术,是一项世界级的数学成就。然而在此之前,大衍总数术的发展情形并不清楚。秦九韶《数书九章》自序云:"独大衍法不载《九章》,未有能推之者。历家演法颇用之,以为方程者,误也。"因此学术界粗略地认为,大衍术来自历家之方程,但又一致认为此方程并不是中国传统数学之方程。本文认为历家之方程即传统之方程,只是运算目的不同。并据此给出一种推测性解释:如果把此方程三横行布筭的最上面一横行删去,用辗转相除替代直除(两者相通),把左下角和右上角两数位置调换,并把运算之负数全改为正数(这不影响结果),那么它就是《数书九章》所载之"大衍求等术"。如果再把两数做约化处理,那么它的形式与算法就和"大衍求一术"完全一样。同时,本文认为"约奇弗约偶"之奇偶即指元数的单双。提出元数约化法则,利用筭图优化历家之方程,是秦九韶之贡献。这样我们亦可了解大衍术在历算中的发展情况。另外,历家之方程在运算过程中可自然地得到一系列的渐近分数。由于这种算法既符合中国古代筹筭之过程,又无需用到比《九章筭术》更高深的数学知识,因此可以自然地解释祖冲之圆周率,以及中国历史上出现的其他大量渐近分数。

秦九韶《数书九章序》注释

《数书九章序》是中国数学史上的重要文献.谨参考《算经十书》、《十三经注疏》、《二十四史》、《说文解字》和《汉语大词典》等对此序中难懂的字、词和典故等进行简明的注释,力图准确展示秦九韶实事求是的科学态度和创新精神,关心国计民生,主张施仁政,支持抗金、抗元战争的政治抱负,并将数学看成实现这些主张的有力工具的思想.

秦九韶在数学上的贡献(一)

介绍了秦九韶的《数书九章》其书,以及秦九韶其人.论述了秦九韶的数学观既重视数学作为操作“工具”的“外在应用”,又重视数学作为逻辑“思维”的“内在完备”,既重视数学“通神明,顺性命”的“文化性”,又重视数学“经世务,类万物”的“应用性”.他是站在“数学建模”的高度,来研究各类数学问题的.他的数学观是“广义数学观”.

《数书九章》“表望浮图”题与湖州多宝塔

分析了《数书九章》“表望浮图”题的造术思想，重点探讨了“表望浮图”题的实际背景，认为：“表望浮图”题的依据就是湖州的多宝塔，进而也为研究宋代建筑多宝塔提供了一些史料。

秦九韶《数书九章》在朝鲜半岛的流传与影响

研究秦九韶《数书九章》在朝鲜半岛的流传及影响情况.通过分析南秉吉的著作可知,《宜稼堂丛书》本《数书九章》和宋景昌的《数书九章札记》传到了朝鲜,此外另有一个抄本《数书九章》也流传到了朝鲜.朝鲜数学家南秉吉(1820-1869)研究了《数书九章》中的测望问题和大衍问题,他对《数书九章》测望九问的证明与修正是正确的,而且他还掌握了用大衍术解同余方程组的方法.

运用黄金分割原理优化求解内部收益率

为了准确、快速的求解内部收益率 (IRR) ,提出一种快捷的计算方法 ,即先通过数值方法初步界定根的范围 ,再用优选法中的黄金分割原理 ,进一步对其优化 ,然后应用秦九韶规则 ,结合线性内插法或牛顿切线法求解IRR 。

秦九韶在数学上的贡献(二)

介绍了秦九韶的《数书九章》其书,以及秦九韶其人.论述了秦九韶的数学观既重视数学作为操作“工具”的“外在应用”,又重视数学作为逻辑“思维”的“内在完备”,既重视数学“通神明,顺性命”的“文化性”,又重视数学“经世务,类万物”的“应用性”.他是站在“数学建模”的高度,来研究各类数学问题的.他的数学观是“广义数学观”.

从“大衍术”到“大衍求一术”

本文通过分析《数书九章》(1247)“治历演纪”题原文原图,确认秦九韶的功绩在于:改进太史推演乘率蔀率的“大衍术”,使之成为完善的规格化算法,并取名为“大衍求一术”。

秦九韶算法教学过程设计

为了实施四川省卓越中学数学教师教育人才培养计划,针对数学与应用数学专业"园丁班"学生特点,紧密结合中学数学,克服学生对算法以及计算机编程的畏难情绪,设计了秦九韶算法的教学过程.

正确全面地理解大衍总数术

秦九韶的大衍总数术分三大部分。在求定部分中，须把一般的问数化为彼此互素的问数，秦氏分成四格进行。该文对关键的“约奇约偶”、“复乘奇复乘偶”和“始得元数”诸词给以适当解释，并阐明“去总求等”的必要，从而完满地处理了元数复数两格，表明秦氏的求定理论是正确的。对大衍总数术的求乘车部分，该文指出大衍求一术是秦氏对古历算家的求历法上元的过程的总结，总结中，使用了一些深刻的概念，用它可以解一个同余方程；秦氏又继承了《孙子算经》的用数法以完满地解多个同余方程。该文特别指出，秦氏创立了他的减用法与借用数理论，以组成大衍总数术中很重要的第三部分——检验理论；他给出上元同金方程的减用借用式有解条件，与今天所用的相同；但其减用过程含有错误。最后，该文指出，在运算上演纪术简便得多，但大衍总数术提出很多重要的概念，是演纪术的理论总结，在理论上更为重要。

《数书九章》系文中秦九韶的数学治国思想

文章对秦九韶《数书九章》系文中的四言诗句深入研究,阐述其中所表达的用数学方法解决农民耕地、赋税、粮食和住房问题的数学治国主张,这可能涉及秦九韶进行数学研究的动机,值得探讨.

试论秦九韶与湖州的关系

较全面地探讨了秦九韶与湖州的关系。认为 :秦九韶与湖州人吴潜和陈振孙关系密切 ,但其履历颇受周密的影响 ;秦九韶寓居湖州是为了照顾母亲 ,他的故居就在“会上” ;湖州特殊的环境为他撰写《数书九章》提供了很多素材 ;清末湖州人给秦九韶很高的评价。

试析秦九韶一家寓居湖州的原因

从南宋湖州的地理位置、军事地位、政治环境以及当时四川籍官员寓居湖州之多四个方面 ,分析秦九韶寓居湖州的原因 ,可以明确 :当时正值蒙古军侵犯南宋边境 ,四川战事频繁 ,生活难以安定 ;秦九韶的父亲好不容易从四川来到临安 (今杭州 ) ,再从临安被派往四川边境时 ,家眷难以在临安定居 ,便把他们留在临安的周边城市———平安而繁荣的湖州 ;秦九韶二次出川后来湖州是因为母亲在湖州。

关于多项式方程重根一种求法的探讨

牛顿法是求解非线性方程根的常用方法,为了更快地求出多项式方程的重根,本文将牛顿法与秦九韶算法相结合,设计了有效的算法,并编程实现求解问题.

广义秦九韶法和仿秦九韶法

秦九韶法是计算一元n次多项式的一种简捷算法 .本文对秦九韶法进行推广 。

关于“大衍术”源流的算例分析

通过分析秦九韶《数书九章》（１２４７年）“治历演纪”题算例，证明了所谓“通其率”算法在中算史上是确实存在的，指出历家相传有一种解一次同余式的一般性算法程序，秦氏称之为大衍术，并将之规范为大衍求一术，而历家推演历元的“方程术”与大衍术在算理上是一致的。并给出了“方程术”演算程序的一种推测。

萨拉夫·丁·图西三次方程数值解的研究

文章在全面解读阿拉伯数学家萨拉夫·丁·图西（Sharaf alDin al-Tusi，1135～1213）《方程》（1209年）一书的基础上，着重分析了其中的三次方程数值解法，得出它们是在已有开方算法的基础上有规律性地构造出来。另还将其与同时代中算家秦九韶的相似算法作比较，得出二者的核心算法相同，但是由于各自数学传统的差异又表现出明显的不同。该研究对于进一步认识图西三次方程数值解算法的构造思想以及探究中阿数学在相似问题上各自的特点与传统有积极意义。