Quadratic Residues and Non-residues for Infinitely Many Piatetski-Shapiro Primes

In this paper, we prove a quantitative version of the statement that every nonempty finite subset of N＋ is a set of quadratic residues for infinitely many primes of the form [nc] with 1 〈 c 〈 243/205. Correspondingly, we can obtain a similar result for the case of quadratic non-residues under reasonable assumptions. These results generalize the previous ones obtained by Wright in certain aspects.

形如4k-1、4k+1、6k-1和6k+1(k∈Z^(+))的素数都有无穷多个

基于严格的逻辑推理,证明了“形如4k-1(k∈Z^(+))的素数有无穷多个”和“形如6k-1(k∈Z^(+))的素数有无穷多个”。基于平方剩余和Euler判定法则,证明了“形如4k+1(k∈Z^(+))的素数有无穷多个”。基于阶和Euler定理,证明了“形如6k+1(k∈Z^(+))的素数有无穷多个”。

关于Diophantine方程x^3±1=3Dy^2

设D是奇素数,运用同余式、平方剩余、递归序列、Maple程序等初等方法得出了当D=27t2+1(t∈Z+)时,Diophantine方程x3±1=3 Dy2无正整数解的一个充分条件.

关于丢番图方程x^3±5~3=3py^2

设p为奇素数,运用同余式、平方剩余、乐让德符号的性质等初等方法得出了丢番图方程x3±53=3py2无正整数解的两个充分条件.

RSA算法中Z_（φ（n））~＊的代数结构研究

应用二次剩余理论,对二阶强RSA算法中Z*φ(n)的代数结构进行研究,证明Z*φ(n)中元素a取最大阶的充要条件为1gcd(a 1,n)1,以及任意元素的阶Z*φ(n)中模(n)的二次剩余个数为((n))/8,以所有二次剩余构成的群对Z*φ(n)进行分割,利用所有陪集构成一个Klein八元群,在此基础上证明Z*φ(n)可由7个二次非剩余元素生成。

关于不定方程x^3±5~3=3Dy^2

运用同余式、平方剩余和勒让德符号的性质等得出了不定方程x3±53=3Dy2无正整数解的2个充分条件,从而推进了该类不定方程的研究.

关于丢番图方x^3-5~3=Dy^2的整数解的研究

设D为奇素数,运用平方剩余、同余式、乐让德符号的性质等初等方法得出了丢番图方程x3-53=Dy2无x??0(mod5)的正整数解的两个充分条件.

关于不定方程x^3+5~3=Dy^2的整数解

设D为奇素数,运用平方剩余、同余式、乐让德符号的性质等初等方法得出了不定方程x3+53=Dy2无x≡0(mod 5)的正整数解的两个充分条件.

关于Diophantine方程x^3-5~3=2Dy^2的整数解

设D为奇素数,运用平方剩余、同余式、乐让德符号的性质等初等方法得出了Diophantine方程x3-53=2Dy2无x≠0(mod 5)的正整数解的两个充分条件.

关于2~ip^j+1型素数及其原根

对2ipj+1型素数进行了讨论,证明了关于素数原根的两个猜想,并进一步证明了当i3时,2不是2ipj+1型素数的原根.

关于丢番图方程x^3±5~3=3py^2的整数解

设p为奇素数,运用同余式、平方剩余等初等方法得出了丢番图方程x3±53=3py2无正整数解的两个充分条件.

关于Diophantine方程x^3-5~3=py^2的解的研究

设p为奇素数,运用同余式、平方剩余等初等方法得出了Diophantine方程x3-53=py2无正整数解的一个充分条件.

关于Diophantine方程x^3-5~3=Dy^2

设D为奇素数,运用同余式、平方剩余等初等方法得出了Diophantine方程x3-53=Dy2无正整数解的一个充分条件.

Wolstenholme定理的新证法

目的给出Wolstenholme定理的一个新证明。方法应用同余的简单性质及威尔逊定理推出了有关二次剩余的一引理,并应用该引理及另一个关于二次剩余的结果,给出了著名的Wol-stenholme定理的一个证明。结果得到了关于二次剩余的一引理,给出Wolstenholme定理的一个新证明。结论 Wolstenholme定理可以用二次剩余及威尔逊定理等简单的初等数论知识证明。

关于Sophie Germain素数的Diophantine方程(x^p-1)/(x-1)=qy

设p和q=2p+1都是奇素数,运用初等数论方法证明了方程(xp-1)(x-1)=qy有无穷多组正整数解(x,y),并且给出了该方程解数的渐近估计。

关于加法组合的一些新问题

本文中研究加法组合中一些新问题。我们的问题主要涉及n个不同数(或加法Abel群的元)a1,...,an的使得诸ai+ai+1(或ai-ai+1)两两不同的置换或圆排列。对不等于25的奇素数幂次q=2n+1>13,我们证明有S={a^2:a∈Fq\{0}}中元的圆排列(a1,...,an)使得{a1+a2,...,an-1+an,an+a1}=S,这儿Fq指q元域。对无挠加法Abel群的n>3元有限子集A,我们证明有A的元素列举a1,...,an使得a1+2a2,a2+2a3,...,an-1+2an,an+2a1两两不同。我们还提出了30个未解决的猜想供进一步研究。

关于模素数原根的新观察

我们给出了关于模素数原根的许多新观察。对奇素数p与整数c,我们建立了一个关于∑g(g+c/p)的定理,其中g跑遍1,…,p-1中模p的原根,(·/p)为Legendre符号。在我们数值计算的基础上,我们形成了35个关于模素数原根的猜想。例如:我们猜测对任何素数p有个模p的原根g<p使得g-1为平方数,还猜测对素数p>3有素数g<p使得Bernoulli数Bq-1为模p的原根。我们也有与模素数的平方非剩余以及一些组合序列的本原素因子有关的观察。例如:在启发式论据基础上,我们猜测对素数p> 3有个Fibonacci数Fk<p/2为模p的平方非剩余,这蕴含着有多项式时间算法可对模素数p> 3的平方剩余找出其模p的平方根。

某些二元二次同余方程的解数

设p为素数,特别是当p为奇素数时,通过二元二次同余方程的等价变换,对模p的二元二次同余方程进行了等价分类,给出了各类二元二次同余方程的解数。

二次剩余定理的推广——二次剩余函数的值域

任何奇素数p有(p-1)/2个二次剩余,此就是二次剩余定理。提出二次剩余函数的概念,证明了素数模p任一二次剩余函数的值域都有(p+1)/2个元素。二次剩余定理乃是它的一种特殊情形,从而推广了二次剩余定理。