优化控制的Runge—Kutta法

科学与工程在计算微分方程(组)的初值问题和边值问题中,都广泛使用 Runge-Kutta(RK)法。但通常所使用的 RK 法不仅局部截断误差难以求得,而且为了达到给定精度计算有很大浪费。因此,必须对 RK 法加以改进。本文在分析 RK 法局部截断误差的基础上,对 RK 法实行优化控制,编制出结构紧凑、可靠性较强的通用算法。计算实践表明,本算法对计算复杂的微分方程、甚至是 Stiff 方程都是有效的。它具有计算简炼,精度高和数值稳定等特点。

非线性控制系统的Runge-Kutta方法的输入状态稳定

研究在什么条件下Runge-Kutta方法能够保持非线性控制系统的输入状态稳定。给出了Runge-Kutta方法生成的近似解保持控制系统真解的输入状态稳定的充分条件,特别证明了在一些常规条件下,所有Gauss-Legendre,Radau IA,Radau IIA,Lobatto IIIC型方法生成的近似解能够保持控制系统真解的输入状态稳定,这为实际应用中如何选择控制系统的数值方法问题奠定了理论基础。

含Caputo-Fabrizio分数阶算子的非线性刚性泛函微分方程Runge-Kutta方法的稳定性

该文针对一类带有Caputo-Fabrizio分数阶算子的非线性刚性泛函微分方程初值问题,利用线性插值技巧离散Caputo-Fabrizio算子,结合求解常微分方程的数值方法,构造了求解该问题的Runge-Kutta方法,给出了在一定条件下方法的非线性稳定性结果.

指数时程差分Runge-Kutta法在非线性高振荡及迟滞系统中的应用

为满足非线性高振荡及迟滞动力系统的高精度数值计算,提出了指数时程差分RungeKutta法;将传统的差分改为积分,构造出了二阶和三阶指数时程差分RungeKutta算法;将指数时程差分法应用于二阶高振荡动力系统、参数激励与强迫激励联合作用下的非线性振动系统以及迟滞非线性系统中,并与传统的RungeKutta法进行了比较;讨论了计算精度和效率.数值计算结果表明,对于非线性动力学系统,二阶指数时程差分RungeKutta法在计算效率和精度上要优于四阶传统RungeKutta法;该方法适合用于非线性动力学系统分析和数值计算的方法,获得的数值解能够揭示系统的本质特性.

基于NAD算子的三阶Runge-Kutta方法及波场模拟

为求解二维声波方程,本文结合空间高阶偏导数离散化的八阶NAD算子和时间导数离散化的三阶Runge-Kutta方法,推导出八阶NAD-RK算法。详细研究了八阶NAD-RK算法的计算效率和地震波数值模拟。结果显示:在达到相同精度下,八阶NAD-RK算法的内存需求约为八阶LWC算法的20%,约为八阶SG算法的25%;八阶NAD-RK算法的计算速度约为八阶LWC算法的5.8倍,约为八阶SG算法的1.52倍。地震波数值模拟实验进一步验证八阶NAD-RK算法数值频散压制效果。

李级数法与Runge-Kutta法

对线性自治系统证明了二阶、四阶李级数法分别与Runge-Kutta法中二级二阶改进Euler法和四级四阶经典R-K法的一致性;说明了李级数法和Taylor级数法的一致性,但两者计算导数的方法不同,导致不同的应用价值。分析了李级数法在求解非线性问题时的优越性。

求解二维声波方程的高精度Runge-Kutta方法

基于二维声波方程,结合八阶NAD算子离散空间高阶偏导数和三阶Runge-Kutta方法离散时间导数,发展了八阶NAD-RK算法。分析八阶NAD-RK算法的理论误差和数值误差,并详细推导了其稳定性条件。结果显示:同八阶Lax-Wendroff格式和八阶交错网格格式相比,八阶NAD-RK算法具有最小的数值误差。

基于Runge-Kutta法分析刚性平面附近空化气泡的动力学

用镜像空化泡等效替代刚性平面,得到超声场中刚性平面附近空化泡的动力学方程.运用Runge-Kutta法数值计算了该方程,并和自由声场中空化泡动力学方程的数值解进行对比分析.结果表明:刚性平面对空化气泡脉动具有抑制作用;气泡内的气体绝热系数和液体粘度系数越小,气泡溃灭速度越大,对平面的作用也越大.研究结果有利于认识空化气泡对刚性壁面的作用机制.

四阶Runge-Kutta算法的优化分析

引用最优化思想和随机搜索技术,对一般的四阶Runge-Kutta算法进行分析,得出一类精度较高的算法,这些算法能满足我们预先给定精度,并且其局部截断误差为O(h5).

二级Runge-Kutta法用于Van der Pol方程的数值Hopf分支问题

将二级Runge-Kutta方法(梯形方法)应用于Van der Pol方程中,证明了Runge-Kutta法对延迟微分方程Hopf分支的保持性,并做出了相应的数值模拟来支撑前面的理论结果。

中立型延迟微分方程Runge-Kutta方法的稳定性(英文)

研究以下中立型延迟微分方程 y’(t)=Ly(t)+My(t-τ1)+Ny’(t—τ2) t≥0 y(t)=g(t) t<0其中L,M,N是d×d复矩阵,τ2≥τ1>0,g(t)是给定的向量函数。证明了Runge—Kutta法是NGP-稳定的充分必要条件是它是A-稳定的。

一类四阶Runge-Kutta法算法的构造

根据一阶常微分方程数值解的收敛性和稳定性,对四阶Runge-Kutta法的算法进行了构造,从理论上推导出最优系数,得到四阶Runge-Kutta法的一种新算法,并利用相关理论知识验证了这一结果的正确性。

Landau-Ginzburg-Higgs方程的多辛Runge-Kutta方法

非线性波动方程作为一类重要的数学物理方程吸引着众多的研究者,基于Hamilton空间体系的多辛理论研究了Landau-Ginzburg-Higgs方程的多辛算法,讨论了利用Runge-Kutta方法构造离散多辛格式的途径,并构造了一种典型的半隐式的多辛格式,该格式满足多辛守恒律、局部能量守恒律和局部动量守恒律.数值算例结果表明该多辛离散格式具有较好的长时间数值稳定性.

插值小波尺度法探地雷达数值模拟及四阶Runge Kutta辅助微分方程吸收边界条件

应用迭代插值方法构造了插值小波尺度函数,并将该尺度函数的导数用于离散Maxwell方程组的空间微分,使用四阶Runge Kutta(four order Runge Kutta,RK4)算法计算时间导数,导出了插值小波尺度法的探地雷达(ground penetrating radar,GPR)正演公式,与常规的基于中心差分的时域有限差分算法(finite difference time domain,FDTD)相比,插值小波尺度算法提高了GPR波动方程的空间与时间离散精度.首先,采用具有解析解的层状模型,分别将FDTD算法及插值小波尺度法应用于层状模型正演,单道雷达数据与解析解拟合表明:相同的网格剖分方式,插值小波尺度法比FDTD具有更高的精度.然后,将辅助微分方程完全匹配层(auxiliary differential equation perfecting matched layer,ADE-PML)边界条件应用到插值小波尺度法GPR正演中,在均匀介质模型中对比了FDTD-CPML(坐标伸缩完全匹配层),FDTD-RK4ADE-PML、插值小波尺度RK4ADE-PML的反射误差,结果表明:插值小波尺度RK4ADE-PML吸收效果优于另外两种条件下的吸收边界.最后,应用加载UPML(各向异性完全匹配层)的FDTD和RK4ADE-PML的插值小波尺度法开展了二维GPR模型的正演,展示了RK4ADE-PML对倏逝波的良好吸收效果.

一类A-稳定对角隐式Runge-Kutta法的指数拟合

研究具有显式级的A-稳定3级对角隐式Runge-Kutta方法的单点指数拟合,构造了相应的A-稳定指数拟合公式,并讨论了最佳拟合频率的选取及步长控制策略.

基于精细Runge-Kutta混合积分法的车桥耦合振动非迭代求解算法

针对结构非线性问题,采用4阶Runge-Kutta法展开精细积分法中响应状态方程的Duhamel项,构造了一种既可以避免迭代又具有较高精度的精细Runge-Kutta混合积分方法,在此基础上提出了适用于车桥耦合振动高效求解的分析框架。车桥耦合系统由车辆、桥梁子系统组成,均采用有限元建模,其中车辆子系统采用部件刚体假定,而桥梁子系统借助于振型叠加法缩减自由度数目;两个子系统内部非线性作用以及系统间的相互作用通过非线性的虚拟力表达。以一节4轴客车匀速通过32m简支梁为研究对象,分别采用分析框架法、Runge-Kutta法进行动力分析。数值结果对比表明:相对于Runge-Kutta法,精细Runge-Kutta混合法能够显著提高计算收敛的积分步长;分析框架可以应用到实际工程中。

Runge-Kutta方法求解结构动力学方程

将几种具有不同稳定性的Runge-Kutta方法应用到结构动力学方程的数值求解中。针对增量形式的动力学方程,使用改进的Newton-Raphson迭代,研究了减少计算量的两种方法:(1)使用单对角隐式Runge-Kutta方法,(2)应用转化矩阵。采用逼近算子的谱半径分析了稳定性与数值阻尼特性,解释了L-稳定方法抑制高频振荡的原因。数值算例表明在精确解上较小的物理阻尼能有效的抑制高频振荡,但对各种直接积分方法的影响很小,高精度的L-稳定Runge-Kutta方法能在有效抑制高频振荡的同时高精度的求解低频振动。

辛Runge-Kutta方法在卫星交会对接中的非线性动力学应用研究

卫星交会对接问题是实现太空平台等空间系统的关键问题之一.考虑了由于地球引力作用而引起的卫星交会对接中的非线性动力学问题.首先,采用能量方法给出Lagrange函数;然后,通过引入广义坐标和广义动量,以及Legendre变换,得到Hamilton方程;随后,采用辛Runge-Kutta方法求解该Hamilton方程,并与传统的四阶Runge-Kutta方法对比.数值结果表明:辛Runge-Kutta方法能够在积分过程中长时间保持系统的固有特性,为天体动力学问题的研究提供了良好的数值方法.

基于2级3阶单对角隐式Runge-Kutta法的电磁暂态计算方法

在电力系统电磁暂态计算中,由于各种突变情况的发生,将导致数值计算中存在数值振荡。为有效解决电力系统电磁暂态计算中的数值振荡问题,将一种2级3阶单对角隐式Runge-Kutta法运用于电磁暂态数值计算中。由理论分析可知,该数值积分方法具有非线性B-稳定性,即具有能量耗散性或非线性阻尼特性。算例结果表明,与现有的方法相比较,使用该方法进行电磁暂态计算,能够在不增加计算量的情况下,有效避免因突变情况导致的数值振荡。

结构动力方程求解的改进精细Runge-Kutta方法

在已有精细Runge-Kutta(龙格-库塔)方法的基础上,考虑了状态空间方程非齐次项的特点和外荷载的特殊性,提出了求解结构动力方程的改进精细Runge-Kutta方法.通过对矩阵进行分块计算,在利用原有精细Runge-Kutta方法高精度的同时进一步提高了计算效率,有利于大型结构的长时间仿真.将改进精细Runge-Kutta方法应用于结构动力方程求解,为其求解提供一种新方法.数值算例表明了改进方法的正确性和有效性.