精细积分方法的发展与扩展应用

钟万勰院士于1991年首先提出计算矩阵指数的精细积分方法,其要点是2N类算法和增量存储。精细积分方法可给出矩阵指数在计算机意义上的精确解,为常微分方程的数值计算提供了高精度、高稳定性的算法,现已成功应用于结构动力响应、随机振动、热传导以及最优控制等众多领域。本文首先介绍矩阵指数精细积分方法的提出、基本思想和发展;然后依次介绍在时不变/时变线性微分方程、非线性微分方程以及大规模问题求解中发展起来的各种精细积分方法,分析了其优缺点和适用范围;最后介绍了精细积分方法的基本思想在两点边值问题、椭圆函数和病态代数方程等问题的扩展应用,进一步展示了该思想的特色。

基于自适应源项离散的点核积分方法计算效率优化研究

点核积分方法面对多源项的复杂场景或是需要对辐射场进行动态更新的情形存在计算耗时较长的问题。针对该问题,通过点核积分程序CIRPDose对圆柱体源、长方体源等5类源项离散引起的误差随计算点与源距离的变化规律进行模拟计算,并提出了一种基于自适应源项离散的点核积分计算效率优化方法。在将该方法集成到CIRPDose程序后,通过自定义算例对其进行测试,测试结果显示,相比传统的固定离散数目,各类型源项在自适应离散方法下的辐射场计算用时最大缩短96.77%,且计算结果平均偏差最大值仅为3.19%,验证了所提方法的可靠性和有效性。研究工作可为核设施内的三维γ辐射场快速计算提供技术支持。

基于积分分析方法对聚变堆启动氚量与所需氚增殖比的评估

托卡马克聚变堆的主要发展方式包括混合堆、纯聚变堆。关于托卡马克聚变堆氚自持的研究,国内外主要采用平均滞留时间方法进行研究,并且针对聚变功率较低的混合堆的氚自持研究较少。本工作采用更符合实际的积分分析方法分析了混合堆、纯聚变堆氚自持的启动氚量、氚增殖比(TBR)要求。研究结果表明:启动氚量、备用氚量与聚变功率具有线性关系,所需TBR与聚变功率呈反比例关系;混合堆聚变功率较低,所需TBR较高,工程实现所需TBR挑战较大,需要通过限制长期氚滞留量以降低所需TBR要求;纯聚变堆聚变功率高,所需TBR较低,工程实现所需TBR挑战较小,但备用氚需求达数十千克,应考虑氚系统的冗余设计或提高氚系统的可靠性、可维护性,以降低备用氚的使用规模;运行因子是聚变堆的一个重要设计指标,在此着重分析了运行因子对所需TBR的影响,并重新定义了一个聚变堆氚自持的关系式,以突出运行因子对氚自持的重要影响。

高职微积分教学中数学思想方法的研究与实践

为培养学生的数学思想,提升学生数学能力,高职教师要用数学的思想方法,如函数思想、极限思想、化归思想、类比思想、数形结合思想、数学建模思想及整体和局部的思想,分析问题、解决问题,为高职学生更好地学习数学基础课提供良好的思维方法,并服务于专业课的学习,为学生的终身学习打下良好的基础。

高职微积分数学思想方法的教学策略实践研究

本文以高职微积分的教学现状为基础,论述了微积分数学思想方法的起源和发展,总结了在高职院校微积分教学中的主要数学思想方法,研究了微积分教学中数学思想方法的教学策略、教学途径、教学价值,并以定积分的概念为例对微积分教学中主要数学思想方法进行了案例分析。通过以上研究指出在微积分教学中渗透数学思想方法的教学有助于学生形成辩证唯物主义思维方法,培养学生的抽象概括能力、逆向思维能力,提高学生对现实生活中客观现象的认知能力和培养踏实认真的工作态度。

基于交互作用积分的异种金属焊接区域裂纹扩展模拟方法

核电厂中存在大量的异种金属焊接区域,该区域内裂纹扩展的合理评价与核电厂安全运行密切相关。由于焊接区域材料具有显著的非均匀特点,传统的J积分理论在该区域不再具有守恒性,同时大量的运行经验反馈表明,在焊接区域裂纹扩展呈现出明显的偏折现象,传统基于Ⅰ型裂纹扩展的分析方法不再适用。为解决上述问题,本文建立了基于交互作用积分理论的异种金属焊接区域裂纹扩展模拟方法。通过交互作用积分的引入,能够准确计算焊接区域复合型裂纹的应力强度因子,采用最大周向应力等裂纹扩展准则后,能够快速实现裂纹扩展路径的预测。通过将本文方法与实验结果和解析解进行对比分析,验证了当前方法的精度和有效性。该方法的建立对焊接区域裂纹扩展模拟及核电设备安全分析评价具有重要意义。

用Velocity Verlet积分器改进HMC抽样方法

Hamilton Monte Carlo (HMC)方法是一种常用的快速抽样方法.在对哈密顿方程进行抽样时,HMC方法使用Leapfrog积分器,这可能造成方程的位置及动量的迭代值在时间上不同步,其产生的误差会降低抽样效率及抽样结果的稳定性.为此,本文提出了IHMC(Improved HMC)方法,该方法用Velocity Verlet积分器替代Leapfrog积分器,每次迭代时都计算两变量在同一时刻的值.为验证方法的效果,本文进行了两个实验,一个是将该方法应用于非对称随机波动率模型(RASV模型)的参数估计,另一个是将方法应用于方差伽马分布的抽样,结果显示:IHMC方法比HMC方法的效率更高、结果更稳定.

一种数值阻尼耗散可控的结构动力方程积分方法

数值耗散是数值积分方法的重要特性,直接影响数值仿真结果的准确性.对于含有虚假高频振动的动力系统,数值耗散能够改善数值仿真结果,但是对于具有真实高频振动的动力系统,数值耗散则会导致计算结果失真.该研究针对结构动力系统的求解,提出了一种数值耗散可控的两子步隐式数值积分方法.基于理论推导,详细介绍了新积分方法的谱半径、稳定性、振幅衰减和周期延长等数值特性.新隐式积分方法通过算法参数α能够对高频虚假振动数值耗散完全可控,相应的耗散比例为1-α,其中-1≤α≤1.通过单自由度动力系统、高频虚假振动系统和多自由度非线性弹簧质量系统三个典型算例,分别证明了新隐式积分方法在计算精确性、高频数值耗散和非线性求解能力方面的优越性.

基于数值积分方法的铣削稳定性预测研究

针对立式加工中心铣削颤振现象,用数值积分方法预测铣削加工过程中的稳定性。首先用时滞微分方程表示受颤振影响的单、双自由度铣削动力学模型,对时滞周期进行离散;然后用数值积分方法求解时滞微分方程,依据Floquet判定铣削加工稳定性,获得稳定性叶瓣图;最后为验证数值积分方法求解的正确性,进行参数识别试验获取铣削力系数和模态参数,从求解得到的叶瓣图中选取加工参数进行试验验证。数值仿真结果表明,数值积分方法的计算效率和计算精度优于1st-SDM方法和1st-FDM方法。试验结果表明,数值积分方法的求解结果与试验结果相符,可以指导铣削工艺参数的选取,确保铣削加工稳定。

非线性控制系统的Runge-Kutta方法的输入状态稳定

研究在什么条件下Runge-Kutta方法能够保持非线性控制系统的输入状态稳定。给出了Runge-Kutta方法生成的近似解保持控制系统真解的输入状态稳定的充分条件,特别证明了在一些常规条件下,所有Gauss-Legendre,Radau IA,Radau IIA,Lobatto IIIC型方法生成的近似解能够保持控制系统真解的输入状态稳定,这为实际应用中如何选择控制系统的数值方法问题奠定了理论基础。

速率积分半球谐振陀螺测试方法探讨

针对速率积分半球谐振陀螺测试精度与使用精度不一致的问题,深入研究了速率积分模式下半球谐振陀螺误差的基本特性,指出造成上述问题的主要原因为现有测试方法仅考虑了振动驻波在固定工作点时陀螺零偏的稳定性,而未考虑驻波在不同工作点时陀螺零偏的一致性。进一步提出,应基于“如何用,即如何测”的思想,采用全周向的方式考核速率积分半球谐振陀螺的零偏和标度因数性能,提出了相应的测试方法或思路并进行了验证。

非线性抛物型积分微分方程Galerkin有限元方法超收敛分析

主要研究非线性抛物型积分微分方程的协调Galerkin有限元方法Crank-Nicolson(CN)全离散格式。通过对非线性项的精细估计,采用插值与投影相结合的估计技巧,导出了L^(∞)(H^(1))模意义下具有O(h^(2)+τ^(2))阶的超逼近性质。进一步利用插值后处理技术得到了整体超收敛结果,弥补了以往文献的不足。同时,通过数值例子验证了理论分析的正确性和方法的高效性。

基于概率积分法的复杂多层采空区隧道地表变形预测方法研究

针对复杂多层采空区隧道地表变形预测这一技术难题,采用分割叠加求解法对传统概率积分法进行简化处理,并应用Matlab语言编写采空区隧道地表沉降预测程序,实现自动坐标系的变换。预测结果表明,受复杂多层采空区影响,该隧道段的地表沉降、水平位移、水平变形和倾斜值均较大,特别是隧道出口段地表水平位移及倾斜值较大,易出现滑塌、崩塌现象,施工过程中需进行加固处治。研究结果可为地表变形预测及施工安全控制提供参考。

非线性Volterra延迟积分微分方程Runge-Kutta方法的散逸性

考虑了非线性Volterra延迟积分微分方程Runge-Kutt方法的散逸性.当积分用PQ求积公式逼近时,得到了(k,l)-代数稳定的Runge-Kutt方法的散逸性;证明了:代数稳定且DJ-不可约的Runge-Kutt方法是有限维散逸的;当k<1时,(k,l)-代数稳定的Runge-Kutt方法是无限维散逸的.

利用蒙特卡罗方法求解数值积分

本文介绍了蒙特卡罗方法的主要思想和理论基础,以一维定积分与二维定积分为例,应用蒙特卡罗方法借助R语言模拟计算定积分的值,并给出结果的相对误差与样本量的关系.

非线性泛函积分微分方程多步Runge-Kutta方法的稳定性和渐近稳定性

针对一类泛函积分微分方程,研究其多步Runge-Kutta方法的数值稳定性,获得了代数稳定的多步Runge-Kutta方法是稳定和渐近稳定的充分条件.

参数冻结精细指数积分法在非线性车桥耦合振动分析中的应用

描述车桥耦合作用的基本问题是一个时变系统问题,且很多工况下需考虑非线性特性,使得该问题难以得到解析解,甚至数值解也可能很复杂.针对该问题的求解,提出了一种参数冻结精细指数积分法,将其应用于车桥耦合动力学模型的数值分析中.该方法结合了精细积分和指数积分特点,并将时变系数矩阵在每一积分步参数冻结,用于获得系统振动响应的数值解.考虑汽车轮胎与桥面的力和位移耦合关系、桥面沥青铺装层、桥梁材料黏弹性和几何非线性特性,建立了车桥耦合动力学模型,并应用参数冻结精细指数积分法对该模型进行了求解.通过与近似解析解、辛Runge-Kutta算法以及经典的Newmark-β数值积分法计算结果进行对比,验证了所提出方法计算结果的有效性和准确性.在此基础上,制作了缩尺车桥耦合系统模型,测试了跨中挠度响应,进一步验证了理论建模和所提算法的有效性和实用性.通过数值计算分析了所提算法的数值特性,结果表明:提出的参数冻结精细指数积分法不仅可以处理时变、非线性问题,且具有良好的数值计算精度和长时间数值稳定性;由于精细积分的特点,参数冻结精细指数积分法的计算时间步长可以取的较大,可有效提高计算效率.因此,所提出的参数冻结精细指数积分法预期可成为求解车桥耦合动力学问题的一种新的高效算法.

含Caputo-Fabrizio分数阶算子的非线性刚性泛函微分方程Runge-Kutta方法的稳定性

该文针对一类带有Caputo-Fabrizio分数阶算子的非线性刚性泛函微分方程初值问题,利用线性插值技巧离散Caputo-Fabrizio算子,结合求解常微分方程的数值方法,构造了求解该问题的Runge-Kutta方法,给出了在一定条件下方法的非线性稳定性结果.

积分微分方程组非局部边值问题的再生核数值方法

提出一种新的解决积分微分方程组非局部边值问题的再生核数值方法.该方法的主要思想是通过在再生核空间中构造一组勒让德多尺度正交基去近似逼近原方程组的解.在定义ε-近似解的基础上,结合配置法获得了积分微分方程组非局部边值问题的近似解,并给出该方法的收敛性和误差估计.数值实验的结果证明了文章方法是有效的.

积分微分方程Runge-Kutta方法的散逸性

本文针对一类积分微分方程讨论Runge-Kutta方法的散逸性,当积分项用PQ公式逼近时,证明了(k,l)-代数稳定的Runge-Kutta方法是D(l)-散逸的.