半二次图像复原中结构化方程组的预处理方法研究

半二次正则化最小二乘是实现高质量图像复原的重要模型之一。在利用牛顿迭代方法等优化方法求解该模型的过程中,每一步都涉及结构化方程组的求解。预处理共轭梯度法(PCG)是求解此类方程组的有效方法,而其收敛速度取决于预处理后矩阵的特征值性质。构造合适的预处理矩阵对于提高图像复原的性能具有重要的意义。近年来,结合半二次图像复原中方程组的结构化特点,学者们基于矩阵的Schur补近似等策略构造出了一系列的预处理矩阵,并给出了相应的特征值分析。数值结果表明,这些预处理方法有效地降低了图像复原的计算成本。针对半二次图像复原中的结构化方程组,本文整理了近几年出现的预处理方法,并从不同侧面进行对比分析,旨在为进一步的预处理方法改进和研究提供思路参考。

基于一类块2×2结构矩阵的Schur补矩阵的预处理技术优化研究

本文针对一类块2×2结构的线性方程组,利用其系数矩阵的结构性质以及Schur补近似矩阵的匹配技巧,讨论了两类Schur补矩阵的近似矩阵以及它们之间的关系,提出了一个新的结构约束预处理子,并且给出了该预处理子理论推导和算法优势.通过极小化预处理矩阵的谱聚集程度,得到了优化这两类Schur补矩阵的参数选择策略及特征值分布,并证明了在满足一定特殊条件下,可以进一步改进和优化基于Schur补近似的预处理技术.同时比较了这两类Schur补近似矩阵的效果及其适用范围,最后总结得到一类通用可靠且有效的预处理技术,并运用在目前最有效的三类预处理子上.我们通过几个数值实验例子证明理论分析是可信服的,也验证了优化的预处理子的有效性.

多群辐射扩散问题特征驱动的并行AMG法

对求解多群辐射扩散(MGRD)方程组的大规模离散系统的已有快速算法进行分类,给出相应的综述。基于近年来所设计的关于并行代数多重网格(AMG)方面的工作,形成基于物理量的近似Schur补型与基于物理和代数特征的组合型预条件算法和理论框架,并对这些工作在该框架下的要素进行了刻画。利用上述框架,设计一种具有基本逼近性和低计算复杂度的近似Schur补型预条件子,并建立相应的谱等价理论;对比数值实验表明:新预条件子具有更好的稳健性和计算效率。最后提出需要进一步解决的若干问题。