一个推广的Simons不等式

本文将Simons不等式推广到常曲率黎曼流形中具有平行平均曲率的子流形的情形。

一类J.Simons型积分不等式

利用活动标架法,研究单连通完备近拟常曲率空间中的紧致极小子流形.建立了这类空间中紧致极小子流形关于其第二基本形式模长B||的J.Simons型积分不等式,推广了常曲率空间、拟常曲率空间中极小子流形的相应结果.同时,给出近拟常曲率空间但不是拟常曲率空间的一个例子的详细证明。

Simons型积分不等式(英文)

研究n+p维局部对称δ Pinching黎曼流形中具有平行平均曲率向量子流形Mn,获得了推广的J.Ｓｉｍｏｎｓ型积分不等式 : ∫Ｍｎ{ [(2δ-1 )ｎ-83 (1 -δ)(ｐ-1 )(ｎ -1 )12 ]Ｓ -(3 +ｎ12 -2ｐ)Ｓ2 -23 (1 -δ)｜Ｈ｜ｎ2 ｐ12 Ｓ12 } ≤ 0 .

伪脐子流形的Simons型不等式与Yau型不等式

讨论了常曲率黎曼流形Nn+p(c)中,具有平行平均曲率向量场的紧致伪脐子流形Mn的第二基本形式的Pinching问题,得到了Simons型不等式(定理2)和丘成桐型不等式(定理1)。特别地,当M为球面Sn+p(c)的紧致极小子流形时,定理2正是李安民对经典的Simons不等式改进的结果。

一个新的Simons型不等式

通过计算Ricci张量长度平方的Laplace,得到一个新的Simons型不等式;运用该不等式作拼挤,在一个比法丛平坦弱的条件下得到了一个Pinching常数.推广了前人所作的关于法丛平坦的结果,也得到了与Ricci曲率平行有关的相应结果.

近拟常曲率空间中具有平行平均曲率向量的子流形

建立了单连通完备近拟常曲率空间中具有平行平均曲率向量紧致子流形的广义J.Simons型积分不等式。将相应的结果推广到非空间形式中非极小子流形的情形。

单位球面中具有平行单位平均曲率向量的子流形

讨论了单位球面Sn+p(p>1)中具有平行单位平均曲率向量的子流形M的第二基本形式的拼挤问题,得到了M位于Sn+p的一个全测地子流形Sn+1中的充分条件.

F-Willmore曲面的间隙现象

对于空间形式中的2维曲面,定义了F-Willmore泛函,此泛函包括经典的Willmore泛函作为特殊情形.F-Willmore泛函的临界点称为F-Willmore曲面.推导了第1变分公式并由此构造了F-Willmore曲面的典型例子.利用自伴算子作用于特殊的实验函数,得到了Simons类积分不等式,讨论了F-Willmore曲面的间隙现象,定出了间隙端点对应的特殊曲面.

一类抽象Willmore型泛函的全局间隙现象

假设φ:Mn→Sn+p是(n+p)维单位球面中的n维子流形,S,H2分别是该子流形的第二基本型以及平均曲率模长的平方.函数ρ=S-nH2被称为Willmore不变量.结合抽象的函数F:[0,+∞)→R,可以定义一类抽象的Willmore类型泛函W(n,F)=∫MF(ρ)dv.此泛函刻画了子流形与全脐子流形的差异,并且与Willmore猜想有着密切联系.鉴于该泛函的重要性,目前已经得到了关于此泛函的一些重要结果,包括:一阶变分公式,例子构造,Simons积分不等式以及点态间隙现象等.在本文中,我们基于Simons积分不等式和一些估计,得到了泛函W(n,F)=∫MF(ρ)dv的全局间隙现象.可以看出,全局间隙现象和点态间隙现象的巨大差异.

第二基本型的一类幂函数型泛函的变分问题

假设φ:M n→N n+p是一般外围流形中的n维子流形,S是该子流形的第二基本型模长的平方.本文构造S的一类幂函数型泛函G(n,r)=∫MS r d v,其中r≥1为实数.此泛函刻画了子流形与全测地子流形的差异,并且与Willmore猜想有着密切联系.本文计算该泛函的第一变分公式,并在单位球面中构造该泛函临界点的一些例子.进一步,基于两个著名的矩阵不等式,我们推导泛函临界点的Simons型积分不等式,并基于此给出间隙现象的讨论.

第二基本型的一类抽象光滑泛函的变分问题

假设φ:M^(n)→N_(n+p)是一般外围流形中的n维子流形,S是该子流形的第二基本型模长的平方,本文构造了S的一-类幂函数型泛函G(_(n,F))(φ)=∫_(M)F(S)dv,其中F:[0,∞)→R为一光滑抽象函数.此泛函抽象刻画了子流形与全测地子流形的差异,并且与Willmore猜想有着密切联系.本文计算了该泛函的第一变分公式,并在单位球面中构造了该泛函临界点的一些例子,进一步,基于两个著名的矩阵不等式,我们推导了泛函临界点的Simons型积分不等式,并基于此给出了间隙现象的讨论.

一般伪黎曼流形中的2-调和类空子流形

本文研究了一般伪黎曼流形中的2-调和类空子流形的有关性质.利用活动标架法和Hopf原理,给出了2-调和子流形是极大的几个充分条件,得到一个Simons型积分不等式并推广了相关结果.

局部对称共形平坦黎曼流形中伪脐子流形

研究了局部对称共形平坦黎曼流形中紧致的伪脐子流形,给出了一个Simons型积分不等式.将[1,2]中的积分不等式推广到局部对称共形平坦黎曼流形中的伪脐子流形.

局部对称伪黎曼流形中的2-调和类空子流形

研究局部对称伪黎曼流形中的2-调和类空子流形,得到具有平行平均曲率向量子流形为极大的充分条件,紧致子流形的Simons型积分不等式,以及具有平行平均曲率向量的紧致子流形的全测性质。

子流形对外围空间的一个拼挤定理

首先得到一个推广的Simons型积分不等式,然后用它给出共形平坦黎曼流形中紧致极小子流形对外围空间的一个拼挤定理.

关于Khler流形中的闭极小子流形的pinching定理

N^(2m) 为2m维Khler流形,它的全纯截面曲率H_N 在_x∈N^(2m)满足a(x)≤H_N ≤b(x) .M^n为N^(2m)的定向闭极小子流形.通过对第二基本形式模长平方的估计,导出了M^n的J.Simons型积分不等式。

关于拟常曲率空间中的一般紧致超曲面

设M^n是n+1维单连通完备拟常曲率空间N^(n+1)中的一般紧致超曲面,应用J.Simons的方法,建立了关于拟常曲率空间中紧致无边超曲面的积分不等式及刚性定理.

带Neumann边界条件的相场方程解的渐近性态

利用Simon-Lojasiewicz型不等式,获得了带Neumann边界条件的相场方程解的渐近性态.本文所考虑的稳态问题含有非局部项.

球空间中一类新的Willmore型超曲面的Simons型定理

主旨是在一般维数球面中的闭超曲面上构造一类泛函T_(n)作为Willmore泛函的推广,我们将证明T_(n)和原始Willmore泛函具有类似的性质,即T_(n)是共形不变的,并且当n为偶数时,T_(n)对应的变分极小闭超曲面同样满足Simons型不等式,这说明T_(n)-极小闭超曲面具有某种几何刚性。

单位球面中子流形一类抽象Willmore型泛函的变分问题

对于单位球面中的扎维子流形,本文构造一类抽象的W_((n,F))-Willmore型泛函,此泛函推广经典的Willmore泛函到相当一般的情形,它的临界点称为W_((n,F))-Willmore型子流形,本文计算泛函的变分公式,推导泛函临界点的Simons型不等式,针对特殊的函数F,构造W_((n,F))-Willmore型子流形的例子,最后给出泛函临界点间隙现象的刻画.