κ-有界sober空间的收缩与Smyth幂空间

主要讨论κ-有界sober空间对遗传、收缩、函数空间和Smyth幂构造的封闭性,证明了κ-有界sober空间是饱和遗传的,但不是闭遗传的;对收缩与Smyth幂构造均不具有封闭性.还证明了存在κ-有界sober空间X使得函数空间[X→X]赋予点式收敛拓扑不是κ-有界sober空间.

Scott幂空间的良滤性

本文引入了Scott幂空间的概念,讨论了Scott幂空间的良滤性,得到下述结论:若T0空间X是良滤的,则Scott幂空间ΣK(X)是良滤的;反之,若全体非空紧饱和集K(X)上(赋予Smyth序)的上Vietoris拓扑粗于Scott拓扑,且Scott幂空间ΣK(X)是良滤的,则X是良滤的。

超sober空间的若干基本性质

本文主要讨论超sober空间的一些基本性质,对三类特殊空间的超sober性进行了讨论,并对T_(0)空间X的超sober性与其Smyth幂空间、Hoare幂空间的超sober性之间的关系进行了讨论;用反例说明了可数无限多个超sober空间的乘积一般不是超sober的;证明了若T_(0)空间X不是超sober的,则其超sober化不存在。

定向闭包空间的若干性质

拓扑空间X称为定向闭包空间(简称DC空间),若它是T_(0)的,且其任一既约闭集都是某定向子集的闭包,此处X赋予特殊化序。本文讨论了定向闭包空间的一些基本性质,证明了偏序集赋予Alexandroof拓扑所得空间和其Smyth幂空间都是DC空间;偏序集赋予上拓扑是quasisober空间当且仅当它是DC空间;DC性对开子空间遗传,但对饱和子空间一般不遗传;对T_(0)空间X,其Smyth幂空间是DC空间一般不蕴含X是DC空间。

有界sober空间和有界well-filtered空间的若干性质

本文主要讨论有界sober空间、有界well-filtered空间和有界d-空间的基本性质,证明了对T0空间X,以下三个条件等价:(1)X的Smyth幂空间P_(S)(X)是有界sober空间;(2)对任意有上界的既约子集A∈Irr(P_(S)(X)),U∈O(X),若∩A■U,则存在K∈A使得K■U;(3)对任意既约子集A∈Irr(P_(S)(X)),U∈O(X),若∩A≠∅,且∩A■U,则存在K∈A使得K■U。证明了:若T_(0)空间X的Smyth幂空间P_(S)(X)是有界sober空间,则X是有界sober空间。给出了两个例子说明:与sober性不同,存在有界sober空间X,X不是有界well-filtered的,其Smyth幂空间P_(S)(X)不是有界sober空间。对T_(0)空间X,证明了以下三个条件等价:(1)X为有界well-filtered空间;(2)X的Smyth幂空间P_(S)(X)为有界d-空间;(3)P_(S)(X)为有界well-filtered空间。

可数-定向集与ω^(*)-well-filtered空间

本文利用可数-定向集,引入了ω^(*)-Rudin空间和ω^(*)-well-filtered决定空间的概念,讨论了ω^(*)-well-filtered空间及相关空间的收缩性、乘积性、反射性等基本性质,给出了ω^(*)-well-filtered性的等价刻画,得到了如下主要结果:(1)ω^(*)-Rudin空间的连续收缩核仍然是ω^(*)-Rudin空间;(2)ω^(*)-well-filtered决定空间的连续收缩核仍然是ω^(*)-well-filtered决定空间;(3)设{X_(i):1≤i≤n}是有限个T_(0)空间,则n∏i=1X_(i)是ω^(*)-well-filtered决定空间当且仅当每个因子空间X_(i)是ω^(*)-well-filtered决定空间(i=1,2,…,n);(4)ω^(*)-well-filtered空间的连续收缩核是ω^(*)-well-filtered空间;(5)设{X_(i):i∈I}是一族T_(0)空间,则∏i∈IX_(i)是ω^(*)-well-filtered空间当且仅当每个因子空间X_(i)是ω^(*)-well-filtered空间(i∈I);(6)ω^(*)-well-filtered空间范畴是T_(0)空间范畴的满子反射范畴,并给出了T_(0)空间ω^(*)-well-filtered反射的具体构造。