Characterizations of Sobolev spaces in Euclidean spaces and Heisenberg groups

Recently, many new features of Sobolev spaces W k,p ？RN ？ were studied in [4-6, 32]. This paper is devoted to giving a brief review of some known characterizations of Sobolev spaces in Euclidean spaces and describing our recent study of new characterizations of Sobolev spaces on both Heisenberg groups and Euclidean spaces obtained in [12] and [13] and outlining their proofs. Our results extend those characterizations of first order Sobolev spaces in [32] to the Heisenberg group setting. Moreover, our theorems also provide diff erent characterizations for the second order Sobolev spaces in Euclidean spaces from those in [4, 5].

小波分析中信号的时频局部化

当信号ｆ具有某种正则性时，则要求表示ｆ的级数的部分和也具有同样的正则性及相应的收敛性，这就需要考虑索波列夫空间中的收敛性。在Ｈ￣ｓ中我们对信号进行了小波分析，当ｓ为非负整数时研究了时频的局部化问题。我们将看到，一个本质上限定于一个给定的有限时间区间和一个给定的有限频率范围内的信号，实质上能够利用有限个展式系数来表示。在不对小波标架提出更高要求的基础上，若要加强收敛性，则应提高信号的正则性。

H^s空间中的小波标架和标架界

信号ｆ（ｔ）的Ｌ￣２范数的平方是该信号的能量，因此需要考虑表达此信号的级数之Ｌ￣２收敛性。但是当信号具有某种正则性时，则要求级数的部分和也具同样的正则性及相应的收敛性。所以，研究索波列夫空间中的收敛是有价值的。本文给出了Ｈ￣ｓ空间中小波标架的定义，研究了其标架上下界的估计问题，把Ｌ￣２中关于上下界的估计定理推广到了Ｈ￣ｓ空间。