解Stiff常微分方程的精确指数拟合法

提出解Ｓｔｉｆ方程的精确指数拟合法。一个数值方法称为精确指数拟合法，如果将它用于试验方程ｙ＝λｙ，Ｒｅ（λ）＜０所得到的数值解对一切λ（Ｒｅλ＜０）都是精确的。显然，精确指数拟合法的要求比Ｌｉｎｉｇｅｒ和Ｗｉｌｏｕｇｈｂｙ［１］提出的指数拟合法更强。此外，我们建立解Ｓｔｉｆ方程的Ｅ稳定概念：一个单步方法说成是Ｅ稳定的，如果将它用于试验方程ｙ＝λｙ，Ｒｅ（λ）＜０时的数值解满足ｙｎ＋１／ｙｎ＝ｅλｈ，可见精确指数拟合法一定是Ｅ稳定的。又由Ｅ稳定可推出Ｌ稳定性和Ａ稳定性。从而精确指数拟合法一定是Ｅ稳定的Ｌ稳定的和Ａ稳定的。根据Ｓｔｉｆ方程解的特征，我们在积分区间的每个部分区间〔ｔｎ，ｔｎ＋１〕上局部地用形如Ｉ（ｔ）＝ＡｅＢｔ或Ｉ（ｔ）＝Ａ＋ＢｅＣｔ的指数型函数来逼近微分方程的解ｙ（ｔ）。

解STIFF常微分方程组初值问题(k,1)-方法的收缩性

本文建立了解常微分方程组初值问题(k,l)-方法的收缩性概念,讨论了收缩区域的若干性质,比较了 Cryer 方法^([1])、Gear 方法,Enrighl 方法和混合方法(2.2)的收缩性.结果表明,在这些方法中,(2.2)的收缩性是最佳的.

求解STIFF常微分方程组初值问题的插值型混合方法

本文以代数插值为工具,构造了两类具良好收缩性质的解STIFF常微分方程初值问题的混合方法,数值试验表明,它们的精度优于Gear方法,由于其不等距步长公式极易求得,变阶变步长实现成为可能。

一类解Stiff常微分方程的单步法

本文给出解Stiff常微分方程初值问题的多导混合单步法,讨论了它们的L-一稳定性,并进行了数值试验。

关于求解Stiff常微分方程具有参数的一类块方法

本文给出求解Stiff常数分方程含有参数的一类高阶块方法,并给出计算其绝对稳定域的算法.通过对参数的选取,改进了文[1]中的方法的稳定性.对于K=3,4,5,6,我们构造出一类Stiff稳定的块方法,它们是具有很小的非稳定域.

求解Stiff常微分方程组的一类二阶导数多项式配置法

本文利用多项式配置的思想构造了一类带有二阶导数的配置法。此类方法具有单步法的形式,其每步联立得到m个点上的数值解。文中证明了此类方法的收敛阶为2m+1。对于等间距置点的情形,3、5、7和9阶公式均是A(α)-稳定的,相应最大α为90°.89°50′,88°22′和85°16′。从计算上考虑,此类方法尤其适于求解自治Stiff常微分方程。

求解Stiff常微分方程的一个数值方法

根据刚性常微分方程初值问题的特点,通过对指数矩阵的近似计算,给出了一个方程数值解递推格式,并进行了误差估计和数值分析。

一类求解stiff 常微分方程组非线性显式及隐式单步法

本文构造了一类适于求解stiff 和振荡问题具A-稳定的非线性显式单步法及L-稳定的隐式单步法.这些方法与一些文献的同阶方法相比,具有相同的数值稳定性和较少的计算量.本文构造的L-稳定的数值积分公式对于特征值接近或位于虚轴的stiff 问题也是有效的.文末的数值例子表明,本文所构造的方法对某些类型的stiff 问题是有效的.

第二课堂助力常微分方程教学的实践研究

第二课堂是课堂教学的有效拓展.常微分方程课程在教学中存在内容抽象和教学用时不足等问题.开展常微分方程第二课堂有利于拓展教学时间和空间,利用数学实验进行数学求解与数学建模.通过实践发现,常微分第二课堂有利于激发学生的数学思维、数学兴趣和合作能力等.在实践中要注重问题创设、实验条件优化和实验辅助支持等,保证常微分方程第二课堂的顺利实施.

一类常微分方程的反问题

研究一类常微分方程的反问题:任给函数组,求以函数组为解的常微分方程.应用待定系数法,在不同条件下,构造了两种以函数组为解的常微分方程,包括高阶非齐次线性微分方程和一阶非线性微分方程,最后通过实例对构造方法进行应用.

一阶常微分方程的知识图谱

一阶常微分方程的方程类型较多,解法不一.在学习的过程中会因为方程类型的判断不准确,导致学习困难.本文通过构造一阶常微分方程的知识图谱,将繁杂的知识进行关联与梳理,呈现常见一阶常微分方程的方程类型和解法之间的相互关系,并以实例进行说明.构建微分方程的知识图谱可以对微分方程中的概念、方法和技巧等进行全面和系统地整合,呈现出方程之间的内在联系和逻辑关系,可以培养学生的逻辑思维能力,帮助学生更加深入和全面地学习微分方程的知识,提高学习效果.

解常微分方程初值问题的K步k+1阶线性多步公式集及其stiff稳定性

本文利用算子方法导出了一般的k步k+1阶线性多步公式集其中的系数β_i及误差系数C_(k+2)可以表示为α_i的函数(i=0,1,2,…,k):从而可以方便地构造出满足稳定性要求的任意k步k+1阶线性多步公式,并同时给出它的误差系数。是否存在k步k+1阶stiff稳定的线性多步公式?,对于k=1,2,3的情形,本文作出了论证,答案是否定的。

基于扩散常微分方程的医学图像异常检测

为了识别与正常生理状态显著偏离的异常医学图像,基于异常图像相关特征往往分布于特征空间低密度区域的假设,提出了一种神经网络辅助的基于扩散常微分方程(Ordinary differential equations,ODE)的医学图像异常检测方法。该方法首先利用扩散ODE估计图像特征的似然值;然后构建神经网络,拟合图像特征在不同时刻由扩散ODE估计的似然值;最后通过扩散ODE估计的似然值和神经网络估计的似然值的加权平均得到异常分数,异常分数较大的图像被认定为异常图像。此外,为了确定异常图像的异常区域,提出了一种基于图像重构的异常定位方法,通过计算重构误差来定位异常区域。在BraTS2021脑肿瘤数据集和X射线胸透数据集上进行数值实验,结果表明该异常检测方法的异常检测性能大幅优于现有方法,且具有较好的鲁棒性。该研究提出的无监督医学图像异常检测方法和异常区域定位方法可为临床诊疗提供丰富的信息支持,有望减轻医生的工作量。

常微分方程课程对思政教育的影响与作用

本文旨在探讨常微分方程课程对学生思政教育的影响与作用,并从培养抽象思维和逻辑思维能力、问题解决能力和科学精神、团队合作和交流能力,以及社会责任感和人文关怀等方面进行论述。通过深入研究常微分方程课程与思政教育的融合,更好地理解如何通过学科教育来培养学生的思想道德和社会责任感,使他们成为具有综合素养和创新能力的社会栋梁,实现思政教育与学科教育的有机结合。

BOPPPS新模式下医学专业“高等数学”教学设计——以常微分方程为例

职业教育“课堂革命”作为高质量发展意见的重要内容,是提升人才培养质量的关键举措。基于BOPPPS教学新模式,从教学内容、教学评价、教学方法等方面进行改革。设计与医学专业课相关、能体现高等数学知识在专业中应用的教学案例,培养学生将不同学科知识融会贯通的能力,匹配专业教学需求,并通过分析实验班和对照班的单元测试成绩以及可量化的多维度评价,展示该新模式的合理性和优越性。

基于OBE模式下的常微分方程教学探究

本文基于成果导向教育(OBE)模式,对常微分方程教学进行了深入探究。通过分析当前常微分方程教学中存在的问题,提出了针对性的改进措施,包括明确学习目标和学习成果、设计合理的教学内容和教学方法、强化实践教学环节以及建立多元化的考核和评价机制等。通过实施这一系列精心设计的措施,旨在显著提升常微分方程课程的教学质量,进而优化学生的学习成效。目标不仅在于传授理论知识,更在于培养学生的实践应用能力和创新思维,以期他们能够更好地满足社会对高素质人才的需求,推动学科的发展和社会的进步。

常微分方程中的生物数学模型及其在教学中的应用

常微分方程作为数学课程中的一门重要基础课程,在提高学生综合素质方面具有举足轻重的作用。文章基于以学生为中心的教学理念和金课“两性一度”的建设要求,针对传统常微分方程教学中存在的问题,以两种群Lotka-Volterra生态模型和人口预测模型为研究对象,探索了生物数学模型在教学中的具体应用,旨在帮助学生更好地掌握该课程的基础理论,激发学生对该课程的学习兴趣,提高学习效率,并培养学生解决问题的能力。

基于学习通与小班个性化模式常微分方程的教学实践

常微分方程是本科阶段数学专业学生的一门必修课程,被广泛应用于物理、化学、生物、医学等方面,渗透于生活的方方面面。因此学好常微分方程显得尤为重要。将学习通平台与小班化教学相结合的教学模式运用到常微分方程的教学中,充分利用“超星学习通”这一平台,为小班中的每个学生定制个人错题本,针对其易错点,进行“培优补弱”,二者的结合能带来更好的教学效果。

求解常微分方程的两类零化神经网络

设计了两类求解常微分方程的零化神经网络.把常微分方程重写为向量值不确定误差函数,将向量值不确定误差函数代入零化神经网络设计公式中,提出了一类求解常微分方程的连续时间零化神经网络,其指数收敛于零.针对潜在的数字硬件实现,通过对连续时间零化神经网络进行离散化,设计了一类离散时间零化神经网络,给出了充要条件来保证离散时间神经网络生成的序列以截断误差为O(τ^(2))(τ>0表示采样周期)收敛到零.通过两个数值实验验证了连续时间零化神经网络和离散时间零化神经网络的有效性.

融合时序关联动态图与常微分方程的区域间出租车需求预测

为解决出租车行业中的高空驶率和不均衡的需求分布问题,通过对出租车出行的区域进行深入研究,提出了一个融合时序关联动态图与常微分方程的需求预测模型TCG-ODE(temporal correlation graphs-ordinary differential equations)。首先,模型使用ODE(ordinary differential equation)对图卷积神经网络(graph convolutional network,GCN)进行微分方程建模,将堆叠局部特征信息抽象为动态图,以节点的时序特性来推进局部节点状态;然后,设计了一种基于注意力分数调整采样策略的蒸馏方案,提高对多层稀疏图的适应效果,以更稳定地表征复杂时空特征,最终实现对区域间出租车需求量的预测。在真实的出租车订单数据集上进行实验,研究结果表明,TCG-ODE模型的预测效果均优于对照模型和改进前的模型。通过精准预测不同区域之间的出租车需求量,可以为出租车司机和乘客出行提供决策支持信息,从而优化供需关系。