广义Lagrange型和Cauchy型Taylor公式

通过引入适当的辅助函数,并以单侧导数替换双侧导数,以高阶导数替换一阶导数,证明了一类广义的Lagrange型和Cauchy型Taylor公式.所得结论既是Lagrange中值定理和Cauchy中值定理的推广,同时也是一种新型的Taylor公式.

AN INTERPOLATION FORMULA OF THE DERIVATIVES OF HIGHER ORDER

In this article we shall obtain an interpolation formula passing given a serial points and satisfying initial values of the derivatives of higher order in preceding points Finally we shall give the erroneous estimate of the preceding interpolation formula.

定积分在两点展开的渐近公式

对于具有m+n阶连续导数的被积函数的定积分,通过多次分部积分给出了在积分上限和积分下限两点处同时展开的定积分的渐近展开式,其余项类似于Taylor公式的积分型余项,这种展开式可看作是Taylor公式的一种推广.被积函数在积分上下限处的值有不同情形,展开式也会随之变化而具有多种形式.通过分析与举例也发现这种展开式的近似计算优于Taylor公式的近似计算,而且在某些积分不等式的证明中也体现了其快捷方便的优点.

Taylor公式在高等数学中的应用

本文通过一些典型的例题,展示了泰勒公式在解决高等数学中求极限、判断级数敛散性、求函数渐近线、证明不等式、求函数和积分的界等常见问题中的有效应用.

Taylor公式的再推广及其“中间点”的渐近性

利用辅助函数,得到了Taylor公式的一个更具一般性的余项形式,讨论了该余项"中间点"ξ的渐近性,推广了渐近性的已有结果.

分数微积分下Taylor公式的一种推广

基于分数微积分理论,将分析学中的Taylor级数和Taylor公式推广于f=(x-a)νg,g∈Cω(I)型函数,并对得到的分数幂级数的系数关系和余项作了分析.

用Taylor公式计算极限问题注记

介绍用Taylor公式计算待定型极限的一种方法,并对常见的几种待定型形式作了简单的归纳和探讨.

多元函数Taylor公式中间值θ的渐近性

本文给出了多元函数Taylor公式中间值θ的渐近性,即当区间长度趋于零时,中间值θ的极限位置。

泰勒公式的延伸式教学案例

本文先介绍泰勒公式的近似计算、求函数极限、证明一些非规则的中值问题等基本应用,然后拓展到利用泰勒公式推导出非线性方程求根的迭代公式的数值计算、数字散斑亚像素的偏移测量公式的工程应用,以此说明数学的有趣、有用,也阐释了数学理论的模型化、数值化.

定积分的一个渐近展开

先通过积分型余项的Taylor公式,二次积分换序等方法,对于具有m阶连续可微的被积函数下的定积分,介点取端点和中点时,得到了不同的m阶渐近展开公式(类似于Taylor公式);再利用Cauchy乘积的讨论,用Bernoulli数完美刻画了上述定积分的渐近式系数.

泰勒公式的张量表示及其误差估计

本文给出了泰勒公式的张量表示,在形式上与一元函数的泰勒公式一致,基于张量Z谱半径给出了泰勒公式的误差估计.

带有重积分型余项的泰勒公式及其证明

本文给出了带有重积分型余项的泰勒公式,并用著名的牛顿—莱不尼茨公式加以证明,同时得出了几点结论.

石羊河流域小麦净灌溉需水量全局敏感性分析

为了研究小麦净灌溉需水量对气象要素的敏感性,采用Penman-Monteith公式结合单作物系数法计算了石羊河流域小麦的净灌溉需水量;基于泰勒展开式推导了小麦净灌溉需水量对6个关键气象要素的全局敏感性公式,并结合敏感性分析结果对敏感度空间分布规律进行了对比分析。结果表明,小麦净灌溉需水量对有效降雨最敏感,其次为水汽压、太阳辐射、风速,对最高气温和最低气温敏感性最小。在空间分布上,受气候和地形条件的影响,流域内各区域小麦净灌溉需水量对气象要素的敏感性存在差异,除风速外上游气象要素的敏感性均大于中下游,上游对有效降雨的敏感性大于对ET0的敏感性,下游则相反。

牛顿－莱布尼茨公式的应用

在牛顿－莱布尼茨公式的基础上，给出了Ｔａｙｌｏｒ中值定理及连续函数零点定理的新证明，并得到了Ｃａｕｃｈｙ中值定理的积分形式。

刀具耐用度公式推导过程

广义泰勒公式是描述刀具耐用度随切削用量变化规律的常用近似数学模型,是进行切削用量选择、优化以及切削效率计算的基本依据。但在通过单因素切削试验导出该公式过程中,有一种错误推导过程经常出现。本文分析该方法产生错误的原因,并提出正确的推导方法。

关于一道竞赛习题条件的探讨

对一道竞赛习题给出了另一种证明方法,指出其中一个条件是可以减弱的,并且对该习题进行了推广.

等价无穷小代换在求解含和差运算因子的极限中的应用

利用等价无穷小代换求极限可以简化计算过程,并能迅速得到正确结果。本文探讨了等价无穷小代换在求解极限式中含有和差运算式因子情况下的具体应用:在一定条件下,和差运算中的各部分无穷小可按泰勒公式展开,适当选取等价无穷小的阶数,则各部分无穷小也可直接分别等价代换。最后总结了和差运算中一些无穷小代换定理和推论,并加以证明和具体应用。求解过程和结果表明,这些定理和推论非常有效。

关于Iyengar型积分不等式

利用余项为积分形式的Taylor公式给出一个含参数的Iyengar型积分不等式,并由此提供了对最基本的Iyengar积分不等式和其他Iyengar型积分不等式新的解析证明。

从多项式逼近函数引出泰勒公式

为便于初学者理解和掌握泰勒公式,从多项式逼近函数的角度出发引出了泰勒公式及其余项.给出了逼近函数的一次及二次多项式,分析了多项式逼近函数的误差、性质及其几何意义.在此基础上,类似逼近函数的低次多项式,利用递推公式构造了逼近函数的n次多项式,并由此引出了泰勒定理.

泰勒公式的余项的定性与定量形式——谈谈在大学数学教学中如何培养学生的创新能力

文章旨在介绍泰勒公式的余项的定性与定量形式及其应用,并结合课堂教学谈谈在大学数学教学中如何培养学生的创新能力.