基于探究式学习的“泰勒公式”教学设计

通过设置一系列层层递进的问题,引领学生通过探究式的方式学习泰勒公式,并借助动态几何画板Geogebra进行动态演示.在此过程中一方面以诗词为德育元素融入课程思政,弘扬传统文化,另一方面揭示微积分中的辩证思想,使得在帮助学生理解和掌握泰勒公式的同时,既能逐步培养学生分析问题、解决问题的科研能力,熟悉用数学实验手段解决问题的过程,又能建构学生正确的数学观,提升学生的数学素养.

泰勒公式和泰勒级数的可视化

泰勒公式和泰勒级数是函数近似和数值计算的重要工具,因其形式较为复杂,往往是学生学习微积分的一个难点。揭示泰勒公式和泰勒级数的几何意义,采用可视化教学方法,可以帮助学生更好地理解泰勒公式和泰勒级数,培养学生的数学思维。

基于导数张量的多元函数极值点判定

针对多元函数极值点判定问题,定义了多元函数的导数张量,给出了张量形式的多元函数带皮亚诺余项的泰勒公式,提出了基于张量的最大和最小Z特征值对多元函数极值点进行判定的方法.

定积分在两点展开的渐近公式

对于具有m+n阶连续导数的被积函数的定积分,通过多次分部积分给出了在积分上限和积分下限两点处同时展开的定积分的渐近展开式,其余项类似于Taylor公式的积分型余项,这种展开式可看作是Taylor公式的一种推广.被积函数在积分上下限处的值有不同情形,展开式也会随之变化而具有多种形式.通过分析与举例也发现这种展开式的近似计算优于Taylor公式的近似计算,而且在某些积分不等式的证明中也体现了其快捷方便的优点.

泰勒公式的一个教学注记

文中利用行列式作工具泰勒公式的余项有多种形式,它们在不同的应用中各有所长.本文汇总了泰勒公式常见的4种余项,并论述了它们之间的关系与特点,同时给出了余项的几个新的变式,以供教学参考.

高等数学中无穷小量的相关概念解析及应用

通过对无穷小认识的曲折历程的叙述揭示了无穷小蕴含的哲学思辨色彩,从无穷小阶数比较的角度阐释了一元函数导数与微分的本质与联系,利用泰勒公式比较无穷小的阶数并解释等价无穷小的实质,指出等价无穷小替换的使用错误根源在于用于替换的泰勒多项式精度达不到所需要求,最后给出了无穷小比较在极限审敛法中的应用。

泰勒公式的探究式教学新设计

本文基于波利亚的合情推理,给出泰勒公式教学的一种新设计.首先通过超越数的近似小数表示,类比出超越函数的近似多项式表示,接着探究确定多项式系数需要的条件,归纳出带佩亚诺余项的n阶泰勒公式;然后,类比其零阶情形与有限增量公式,得到带拉格朗日余项的泰勒公式,并通过构造辅助函数,给出其简单证明.最后,讨论了泰勒多项式的唯一性,函数及其导函数的泰勒公式的关系,余项对函数逼近范围的影响,及泰勒公式的常见应用.

基于泰勒公式的单相桥式整流滤波电路分析

单相桥式整流滤波电路输出电压波形难以用解析式来描述,输出电压波形中,每个周期有一个输出电压下降的时间段。该时间段的长短与滤波电容和负载电阻的数值有关。通过对电路工作过程进行分析,得到相关物理量的数学函数关系式,通过泰勒公式对关系式进行近似简化分析,可以得到电压下降时间段时长与时间参数RC之间的关系式。根据关系式计算得到的数据与电路仿真数据较为接近。关系式可以用于电容值的选取、电压下降时间段时长的计算。

泰勒公式在复杂函数极限求解中的应用

本文主要研究泰勒公式在求极限的题目中的应用.总结了利用泰勒公式求极限的一般原则和注意点,讨论了含诸如复合函数和幂指函数等复杂极限的求解方法,并举例说明其应用.

泰勒公式的延伸式教学案例

本文先介绍泰勒公式的近似计算、求函数极限、证明一些非规则的中值问题等基本应用,然后拓展到利用泰勒公式推导出非线性方程求根的迭代公式的数值计算、数字散斑亚像素的偏移测量公式的工程应用,以此说明数学的有趣、有用,也阐释了数学理论的模型化、数值化.

关于麦克劳林公式中余项的注记

结合具体例子讨论了麦克劳林公式中的余项形式,指出对于给定的麦克劳林多项式,用定义(直接法)获得的余项形式不唯一.利用常见初等函数的麦克劳林公式(间接法)得到的余项形式被讨论,该余项形式可能不是麦克劳林公式中的余项,但具有误差分析的价值.最后,建议在教材中引入“函数的n阶麦克劳林多项式”称谓,用于区别“n次麦克劳林多项式”,补充余项细节,降低学习难度.

定积分的一个渐近展开

先通过积分型余项的Taylor公式,二次积分换序等方法,对于具有m阶连续可微的被积函数下的定积分,介点取端点和中点时,得到了不同的m阶渐近展开公式(类似于Taylor公式);再利用Cauchy乘积的讨论,用Bernoulli数完美刻画了上述定积分的渐近式系数.

关于一道中值问题证法的讨论

本文讨论了一道中值问题的证明,指出了中值问题里容易发生的错误,并研究了该中值问题的推广情形.本文的讨论有助于学生对中值含义的理解.

泰勒公式的张量表示及其误差估计

本文给出了泰勒公式的张量表示,在形式上与一元函数的泰勒公式一致,基于张量Z谱半径给出了泰勒公式的误差估计.

一道恒等式的几个证法及其推广与应用

本文针对一个恒等式给出四种不同的证明方法,并对这个恒等式进行推广,最后给出所得结论在解题中的应用.

广义Lagrange型和Cauchy型Taylor公式

通过引入适当的辅助函数,并以单侧导数替换双侧导数,以高阶导数替换一阶导数,证明了一类广义的Lagrange型和Cauchy型Taylor公式.所得结论既是Lagrange中值定理和Cauchy中值定理的推广,同时也是一种新型的Taylor公式.

面向入侵检测的Taylor神经网络构建与分析

深度学习方法已成为网络入侵检测的重要手段,但现有深度学习模型无法挖掘出网络入侵数据特征值间隐藏的函数映射关系。对此,设计了Taylor神经网络模型(TNN)。利用Taylor公式对多项式函数的逼近能力与神经网络的优化能力对入侵数据特征间的关系进行挖掘与利用。首先,介绍Taylor神经网络的基本结构。为了将Taylor神经网络引入入侵检测领域,设计了Taylor神经网络层(TNL),并将其与传统深度神经网络结合构建Taylor神经网络模型。为优化Taylor公式的展开项数,引入人工蜂群算法,但传统的人工蜂群算法存在开采能力较差,易陷入“早熟”等问题,因此设计了一种基于高斯过程的人工蜂群算法。实验结果表明,基于Taylor神经网络的入侵检测算法在NSL-KDD和UNSW-NB15数据集上的准确率具有明显优势。

Hermite-Hadamard-Fejér型不等式的推广及其应用

利用Taylor公式和单调性的L'Hospital法则,给出了涉及高阶导数的Hermite-Hadamard-Fejér型不等式的推广。作为应用,建立了几个三角不等式。

高等数学中函数极限计算的几种方法

极限是高等数学课程的基本知识点,求函数极限的方法灵活多变。总结了几种求函数极限的方法,并讨论了求函数极限过程中的常见错误,旨在帮助学生加深对极限理论的认识,更好地解决极限计算问题。

高速永磁屏蔽电机摩擦损耗分析与计算

基于3D流体场模型和有限元体积法,针对高速永磁屏蔽电机进行转子表面介质摩擦损耗计算和敏感性因素分析,研究转子转速、介质轴向流速、屏蔽套表面粗糙度对气隙内介质摩擦损耗的影响规律。基于一台额定转速36000 r/min的电机结构,对半径比为0.896~0.930的窄气隙泰勒-库埃特-泊肃叶(TCP)流进行仿真分析,得到摩擦阻力系数与水轴向流速、转子转速的关系,并采用非线性拟合的方法得出不同轴向流速和转子转速的摩擦损耗系数经验公式。随后,搭建试验平台测量摩擦损耗,对比试验测得与仿真求得的摩擦损耗大小以及数值仿真与经验公式计算的摩擦损耗系数,误差在5%范围内,满足工程要求,验证了数值仿真分析和经验公式的准确性。