关于方程a^x+b^y=c^z的Terai-Jemanowicz猜想

设ｍ是正整数，证明了：（Ａ）如果ｂ是奇素数，且ａ＝ｍ３－３ｍ，ｂ＝３ｍ２－１，ｃ＝ｍ２＋１， 那么丢番图方程 ａｘ＋ ｂｙ＝ｃｚ（１）仅有正整数解（ｘ，ｙ，ｚ）＝（２，２，３）；（Ｂ）如果ｂ是奇素数，且 ａ＝ｍ｜ｍ４－１０ｍ２＋５｜，ｂ＝５ｍ４－１０ｍ２＋５｜，ｂ＝ ５ｍ４－１０ｍ２＋１， ｃ＝ｍ２＋ １，那么丢番图方程（１）仅有正整数解 （ｘ，ｙ，ｚ）＝（２，２，５）．

On the Terai-Jésmanowicz Conjecture

In this paper, we prove that if a, b and c are pairwise coprime positive integers such that a^2＋b^2=c^r,a〉b,a≡3 （mod4）,b≡2 （mod4） and c-1 is not a square, thena a^x＋b^y=c^z has only the positive integer solution （x, y, z） = （2, 2, r）. Let m and r be positive integers with 2｜m and 2 r, define the integers Ur, Vr by （m ＋√-1）^r=Vr＋Ur√-1. If a = ｜Ur｜,b=｜Vr｜,c = m^2＋1 with m ≡ 2 （mod 4）,a ≡ 3 （mod 4）, and if r 〈 m/√1.5log3（m^2＋1）-1, then a^x ＋ b^y = c^z has only the positive integer solution （x,y, z） = （2, 2, r）. The argument here is elementary.

本原商高数的Jesmanowicz猜想的位移形式

一组正整数(a,b,c)称为本原商高数,如果它们满足方程a^2+b^2=c^2且(a,b)=1,2|b.著名的Jesmanowicz-Terai猜想是指当(a,b,c)是本原商高数时,方程a^x+b^y=c^z仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,2).本文讨论了商高数的位移形式,即就是:设u是大于2的偶数,本文运用初等数论方法以及同余的性质讨论了指数Diophantine方程(u^2+1)~x+(2u)~y=(u^2-1)~z的可解性,证明了该方程无正整数解(x,y,z).从而部分的解决了Jesmanowicz-Terai猜想的另一种形式.