TOADER型平均的调和与NEUMAN平均凸组合界

研究了TOADER型平均和调和平均与NEUMAN平均凸组合的序关系,运用单调性L HOSPITAL法则,证明了TOADER型平均关于调和与NEUMAN平均凸组合的确界.作为应用,分别给出了第二类完全椭圆积分关于反双曲正弦和反正切函数的两个不等式.所得结果是对一些己知结果的改进.

SHARP BOUNDS FOR TOADER-TYPE MEANS IN TERMS OF TWO-PARAMETER MEANS

In the article,we prove that the double inequalities Gp[λ1a+(1-λ1)b,λ1 b+(1-λ1)a]A1-p(a,b)<T[A(a,b),G(a,b)]<Gp[μ1 a+(1-μ1)b,μ1b+(1-μ1)a]A1-p(a,b),Cs[λ^(2) a+(1-λ2)b,λ2 b+(1-λ2)a]A1-s(a,b)<T[A(a,b),Q(a,b)]<Cs[μ2 a+(1-μ2)b,μ2 b+(1-μ2)a]A1-p(a,b)hold for all a,b>0 with a≠b if and only ifλ1≤1/2-(1-(2/π)2/p)1/2/2,μ1≥1/2-(2p)1/2/(4 p),λ2≤1/2+(2(3/(2 s)(E(21/2/2)/π)1/s)-1)1/2/2 andμ2≥1/2+s1/2/(4 s)ifλ1,μ1∈(0,1/2),λ2,μ2∈(1/2,1),p≥1 and s≥1/2,where G(a,b)=(ab)1/2,A(a,b)=(a+b)/2,T(a,b)=∫0π/2(a2 cos2 t+b2 sin2)1/2 tdt/π,Q(a,b)=((a2+b2)/2)1/2,C(a,b)=(a2+b2)/(a+b)and E(r)=∫0π/2(1-r^(2) sin^(2))1/2 tdt.

Toader平均的二次与调和平均界

该文证明了双向不等式αQ(a,b)+(1-α)H(a,b)<T(a,b)<βQ(a,b)+(1-β)H(a,b)和λ/H(a,b)+(1-λ)/Q(a,b)<1/T(a,b)<μ/H(a,b)+(1-μ)/Q(a,b)对所有a,b>0且a≠b成立的充分和必要条件是α≤5/6,β≥22^(1/2)π,λ<0和μ>1/6.其中Q(a,b)=((a^2+b^2)/2)^(1/2),H(a,b)=2ab/(a+b)和T(a,b)=2/π∫_0^(π/2)(a^2cos^2θ+b^2sin^2θ)^(1/2)dθ分别表示正数a和b的二次平均,调和平均和Toader平均.

Toader-Qi平均与其他二元平均的几个确界

研究了Toader-Qi平均TQ(a,b)关于几何平均G(a,b)、对数平均L(a,b)、算术平均A(a,b)和二次平均Q(a,b)若干特殊组合的序关系.运用实分析方法以及第1类Bessel函数的乘积公式,建立若干重要引理,导出了4个关于Toader-Qi平均TQ(a,b)的精确不等式,并获得了特殊情形的结果.

Toader型平均的调和、几何、形心和反调和平均界

通过研究Toader型平均 T(A,G)与调和平均 H (或几何平均 G )和形心平均 E (或反调和平均 C )凸组合的序关系,发现了最佳参数α 1 ,α 2 ,α 3 ,α 4 ,β 1 ,β 2 ,β 3 ,β 4 ∈(0,1),使得双向不等式α 1 E(a,b)+(1-α 1 )G(a,b)<T[A(a,b),G(a,b)]<β 1 E(a,b)+(1-β 1 )G(a,b),α 2 E(a,b)+(1-α 2 )H(a,b)<T[A(a,b),G(a,b)]<β 2 E(a,b)+(1-β 2 )H(a,b),α 3 C(a,b)+(1-α 3 )G(a,b)<T[A(a,b),G(a,b)]<β 3 C(a,b)+(1-β 3 )G(a,b),α 4 C(a,b)+(1-α 4 )H(a,b)<T[A(a,b),G(a,b)]<β 4 C(a,b)+(1-β 4 )H(a,b)对所有 a,b>0 且 a≠b 成立.作为应用,得到一个新的第二类完全椭圆积分的确界.

Toader平均的精确算术、海伦及纽曼平均不等式

文章找到了最佳参数α_1,α_2,α_3,α_4,β_1,β_2,β_3和β_4使得不等式α_1A (a,b)+(1-α_1)G (a,b)<TD[A (a,b),G (a,b)]<β_1A (a,b)+(1-β_1)G (a,b),α_2H_e (a,b)+(1-α_2)G (a,b)<TD[A (a,b),G (a,b)]<β_2H_e (a,b)+(1-β_2)G (a,b),α_3A (a,b)+(1-α_3)N_(AG) (a,b)<TD[A (a,b),G (a,b)]<β_3A (a,b)+(1-β_3)N_(AG) (a,b),α_4H_e (a,b)+(1-α_4)N_(AG) (a,b)<TD[A (a,b),G (a,b)]<β_4H_e (a,b)+(1-β_4)N_(AG) (a,b)成立,其中A (a,b)=a(+b)/2,G (a,b)=ab^(1/2), H_e(a,b)=a(+ab^(1/2)+b)/3和TD(a,b)=2/π integral from 0 to π/2 a^2cos^2(t)+b^2 sin^2(t)^(1/2)dt分别表示两个正数a和b的算术平均、几何平均、H_eronian平均和Toader平均。作为应用,我们给出了第二类完全椭圆积分的两个新的确界,加强了已有结果。

Toader型平均的若干经典平均凸组合界

运用单调性L’Hospital法则,证明了两类Toader型平均关于其他若干经典平均的凸组合确界,进而给出了第二类完全椭圆积分的两个不等式.

Toader型平均的两个最佳不等式

完全椭圆积分在物理、工程、函数论、拟共形分析、数论等相关领域有着重要的应用.通过研究Toader型平均与调和平均和正弦平均(双曲正切平均)二次凸组合的序关系,得到了Toader型平均关于调和平均和正弦平均(双曲正切平均)的上下确界.作为应用,给出了第二类完全椭圆积分关于正弦和双曲正切函数的两个精确不等式.

Toader-Qi平均关于对数和算术平均特殊组合的确界

研究了Toader-Qi平均TQ(a,b)关于对数平均L(a,b)和算术平均A(a,b)特殊组合的序关系.运用第1类修正Bessel函数的Cauchy乘积公式,建立若干重要引理,给出了3个有关Toader-Qi平均TQ(a,b)的精确不等式,并且推得了第1类修正Bessel函数I0(t)新的确界.

算术与Toader平均凸组合的单参数平均确界

运用实分析方法,研究算术和Toader平均凸组合关于单参数心形(或二次)平均的确界,得到了两个精确双向不等式.研究方法和结果对平均值理论的相关研究具有一定的启示作用.

Toader型平均关于其他二元平均的逼近

通过研究高斯算术几何平均和其他平均的组合或复合函数的单调性,给出了Toader型平均值的由算术几何平均给出的几个精确逼近。作为所得结果的应用,利用Toader型平均值与第二类完全椭圆积分的关系,得到第二类完全椭圆积分的新的上下界。这些上下界提供了第一类和第二类完全椭圆积分之间的联系。

Toader型平均的算术与调和平均界

给出了Toader型平均T[A(a,b),G(a,b)]关于调和平均H(a,b)与算术平均A(a,b)组合的精确界.作为应用,发现了几个关于第二类完全椭圆积分的精确不等式.

Toader型平均与几种经典平均的确界

给出了最佳参数α_1,α_2,α_3,β_1,β_2,β_3∈R,使得双向不等式α_1Q(a,b)+(1-α_1)G(a,b)<T[A(a,b),Q(a,b)]<β_1Q(a,b)+(1-β_1)G(a,b),α_2Q(a,b)+(1-α_2)H(a,b)<T[A(a,b),Q(a,b)]<β_2Q(a,b)+(1-β_2)H(a,b),α_3C(a,b)+(1-α_3)H(a,b)<T[A(a,b),Q(a,b)]<β_3C(a,b)+(1-β_3)H(a,b)对所有a,b>0且a≠b成立.其中A(a,b)=(a+b)/2,H(a,b)=2ab/(a+b),G(a,b)=(ab)^(1/2),Q(a,b)=((a^2+b^2)/2)^(1/2),C(a,b)=(a^2+b^2)/(a+b),T(a,b)=2/π∫_0^(π/2)(a^2cos^2t+b^2sin^2)^(1/2)tdt分别是两个正数a和b的算术平均,调和平均,几何平均,二次平均,反调和平均和Toader平均.

线性核Toader平均的Schur凸性和Schur几何凸性

为了研究线性核Toader平均Mr（a,b）在R＋＋2上的Schur凸性和Schur几何凸性,利用控制不等式的相关理论得到结论：当r≥1时,Mr（a,b）在R＋＋2上是Schur凸函数;当r≤1时,Mr（a,b）在R＋＋2上是Schur凹函数;当r≥1/2时,Mr（a,b）在R＋＋2上是Schur几何凸函数.最后,依据Mr（a,b）的Schur凸性和Schur几何凸性建立了新的不等式.

关于Toader平均和形心平均的最佳不等式

对所有的a,b>0且a≠b,找到了最佳参数α,β∈(0,1)和λ,μ∈[1/2,1],使得双向不等式C^(α)(a,b)A^(1-α)(a,b)<T(a,b)<C~β(a,b)A^(1-β)(a,b)C(λa+(1-λ)b,λb+(1-λ)a)<T(a,b)<C(μa+(1-μ)b,μb+(1-μ)a)成立.其中A(a,b),C(a,b)和T(a,b)分别表示两个正数a和b的算术平均,形心平均和Toader平均.

算术及调和平均对Toader型平均估计的改进

文章研究Toader型平均TD [A(x,y),G (x,y)]关于调和平均H (x,y)与算术平均A (x,y)组合的序关系,发现最佳参数α1,α2,β1,β2∈R使得双向不等式■对所有x,y>0且x≠y成立.将其作为应用,得到一个新的关于第二类完全椭圆积分的精确不等式.

对数核Toader平均的Schur凸性和Schur几何凸性

为了研究对数核Toader平均Lr（a,b）在R（＋＋）2上的Schur凸性和Schur几何凸性,利用控制不等式的相关理论得到结论：当r≥1/2时,Lr（a,b）在R（＋＋）2上是Schur凹函数;当r≥0时,Lr（a,b）在R（＋＋）2上是Schur几何凸函数;当r≤0时,Lr（a,b）在R（＋＋）2上是Schur几何凹函数,最后,依据Lr（a,b）的Schur凸性和Schur几何凸性建立了新的不等式.