区间上单峰扩张自映射周期轨道的超旋转对

设f是区间I=[0,1]上的单峰扩张自映射, k ∈N,m≥2,λm,k是方程x(k-1)m(xm- 1)Q(x,m+1)+(x(k-1)m-1)Q(x,m)=0在(1,+∞)上的唯一实根,其中Q(x,m)=(xm- 2xm-1+1).本文证明:若f的扩张常数λ≥λm,k,则f有超旋转对为(k,km+1)的周期轨道. 此外,还指出,当1<λ<λm,k时,在区间上存在单峰扩张自映射具有扩张常数λ却无超旋转对为(k,km+1)的周期轨道.

区间上平顶单峰扩张自映射的周期轨道

设ｔ（０＜ｔ＜１）是一个常数，ｎ≥３是奇数，ｍ≥０及ｋ≥１是整数，Ｐ０（ｘ）＝ｘ－１，Ｐｉ（ｘ）＝（ｘ２ｉ－１－１）Ｐｉ－１（ｘ）（ｉ≥１），ｒｍｎ（ｔ）及ｒｋ（ｔ）分别是方程Ｐｍ（ｘ）（ｘ２ｍｎ－２ｘ２ｍ（ｎ－２）－１）－ｔ（ｘ２ｍｎ－１）（ｘ２ｍ＋１）＝０及Ｐｋ－１（ｘ）－ｔ（ｘ２ｋ－１＋１）＝０在（１，＋∞）上的唯一实根，ｆ是闭区间Ｉ＝［０，１］上的峰顶区间长度为ｔ的平顶单峰扩张自映射．本文证明了，若ｆ的扩张常数λ≥ｒｍｎ（ｔ）（或＞ｒｋ（ｔ）），，则ｆ有２ｍｎ（或２ｋ）周期点．此外，本文还指出，当１＜λ＜ｒｍｎ（ｔ）（或≤ｒｋ（ｔ）时。

关于区间上的单峰扩张自映射

设ｆ是区间Ｉ＝［０，１］上的扩张的单峰函数，λ是ｆ的扩张常数。又设ｋ≥３是奇数，ｎ≥３是整数，λ＿ｋ是方程ｘ￣ｋ－２ｘ￣（ｋ－２）－１＝０的最大实根，μ＿ｎ是方程ｘ￣ｎ－２ｘ￣（ｎ－１）＝０的最大实根。本文用较简单的方法证明了，当λ≥λ＿ｋ时，ｆ中含有ｋ－周期轨道；当λ≥μ＿ｎ时，ｆ中含有相对于自身的ＲＬ￣（ｎ－２）Ｃ型单峰周期轨道。此外，本文还讨论了一类刀ｘ￣ｎη（ｘ）＝ξ（ｘ）的根的极限度量性质。

区间上单峰扩张自映射的周期轨道的超旋转对集

设λ是[0,1]上的单峰扩张自映射f的扩张常数,k∈N,m≥2,λ_m和λ_(m,k)分别是方程Q(x,m)=x^m-2x^(m-1)+1=0和x^((k-1)m)(x^m-1)(x^m-1)Q(x,m+1)+(x^((k-1)m)-1)Q(x,m)=0在(1,+∞)上的唯一实根.设ORP(f)为f的所有周期轨道的超旋转对所成之集.本文证明了:1)对m≥3,有2-2/m<λ_m<2.2)λ_(m,k+1)<λ_(m,k).3)若λ=2,则(k,km+i)E ORP(f),其中i E{0,1,…,k-1};若λ≥lim(k→∞)λ_(m,k),则(k,km+1)∈ORP(f).4)设n≥3是奇数,若λ≥(λ_n)^(1/k),则2~k·n为f的某个周期点的周期.另外,当1<λ≤lim(k→∞)λ_(m,k)时,给出了区间上具有扩张常数λ而没有超旋转对(k,km+1)的单峰扩张自映射.