一类分形函数的Weyl-Marchaud分数阶导数的Hausdorff维数

首先介绍广义Weierstrass型函数的Weyl-Marchaud分数阶导数,得到了带随机相位的广义Weierstrass型函数的Weyl-Marchaud分数阶导数图像的Hausdorff维数,证明了该分形函数图像的Hausdorff维数与Weyl-Marchaud分数阶导数的阶之间的线性关系.

基于Maxwell方程和R-L分数阶导数的高频激励条件下纳米晶材料磁滞特性预测模型

准确预测高频激励条件下纳米晶材料的磁滞特性,对电力电子变压器等高频电力设备磁性元件的优化设计具有重要意义。该文基于Maxwell方程和Riemann-Liouville(R-L)分数阶导数,建立高频激励下纳米晶材料磁滞特性预测模型。首先,根据Maxwell方程,首次推导出计及趋肤效应影响的涡流磁场强度解析式;其次,针对现有静态磁滞特性和异常效应建模方法未考虑趋肤效应影响的问题,依据R-L型分数阶导数理论,建立有效描述带材内部磁通密度分布不均时纳米晶静态磁滞特性与异常效应综合预测模型,并提出一种考虑频率效应的阻尼系数ρ和非整数阶n的解析计算方法;最后,基于磁场分离理论,建立高频激励下纳米晶材料磁滞特性预测模型。通过与纳米晶材料1K107B在高频激励下实测磁滞回线进行对比,验证该文所建预测模型的有效性。相较于经典模型,该文所建模型对磁滞回线的预测精度提升了35.8%。

奇异函数分数阶导数的Hadamard有限部分积分表示形式

针对包含奇点的函数,研究其Riemann-Liouville和Caputo分数阶导数,给出它们的Hadamard有限部分积分表示形式.利用该形式求得分数阶导数在初始点的Psi级数展开式.另外,该形式可以方便地使用Hadamard有限部分积分算法进行高精度计算.最后设计了一种奇点分离的Chebyshev谱逼近方法,通过数值算例验证了分数阶导数的Hadamard积分表示形式及其数值算法的正确性和有效性.

一类具有推广的Caputo分数阶导数的微分方程的Ulam稳定性

本文研究一类具有推广的Caputo分数阶导数的微分方程,推广的Caputo分数阶导数可由Conformable导数与经典的Caputo导数结合而得或是推广的分数阶算子.我们利用拉普拉斯变换研究了线性方程的Ulam-Hyers稳定性,分别利用Banach不动点定理和Guonwall不等式研究了非线性方程解的存在唯一性和Ulam-Hyers-Rassis稳定性,获得了几个充分条件的定理,并给出一个例子作为所得结果的应用.

分数阶时间导数方程和反常亚扩散过程——纪念茆诗松教授

本文介绍并且改进和推广了时间导数为分数阶的方程,以及与反常亚扩散过程相关联的最近的一些结果.

基于Conformable分数阶导数的灰色Bernoulli模型

为增强灰色Bernoulli模型对各种实际数据序列的适应性,借助分数阶微积分在描述复杂系统中的优势,提出了一种基于Conformable分数阶导数的灰色Bernoulli模型。研究发现,可通过改变结构参数将模型转换为不同的经典灰色预测模型,体现了其统一性。此外,采用粒子群优化算法求解规划模型,获取了模型的最优超参数。最后,用所提模型和5个竞争模型对3个真实案例进行了预测建模,结果表明,所提模型的2项评估指标均优于5个竞争模型,验证了所提模型的有效性和可行性。

基于分数阶导数衍生特征和小波散射网络的交通碰撞声学信号识别

针对现阶段交通碰撞事故报警系统实时性差、识别不准等问题,提出了一种联合分数阶导数衍生特征和小波散射网络系数的交通事故声学碰撞信号识别方法。针对车辆碰撞信号具备非平稳性和长程相关性,引入分数阶导数,从中提取可以表征车辆行驶状态的时频特征作为第一个特征数据集。采用小波散射网络提取具有多尺度、稳定性和局部不变性的散射系数作为第二个特征数据集。将这两个特征数据集进行融合,基于树模型构造交通碰撞事故声学信号识别模型。实验结果表明,在已有碰撞事故样本上的检出率为100%,误报次数控制在每天每公里0.5次以内。

基于分数阶导数模型的巷道围岩变形失稳规律研究

巷道在应力长时间作用下会发生蠕变变形,为探究蠕变变形失稳规律,以分数阶导数为基础,将Newton黏壶改进为Abel黏壶,并引入负指数形式的损伤变量,建立了分数阶Nishihara本构模型。根据晋城市锦辰煤业3采区砂岩在不同应力下的蠕变实验,验证了本构模型的有效性,所提出的新模型可以更好到描述巷道围岩在长期力学作用下的变形规律。

冻结重塑黏土分数阶蠕变本构模型分析

人工冻土的蠕变特性受温度场、水分场、应力场的相互影响,而传统的岩土本构模型未能考虑温度、含水率等因素。为了表达冻土介于理想固体和理想流体之间的某种“勾兑效应”,基于岩土的经验模型,将分数阶导数理论引入其中,建立受水、热、力三场耦合影响的人工冻土分数阶蠕变模型。将西安某煤矿黏土重塑并进行不同温度、含水率的单轴抗压和单轴蠕变试验,得到温度和含水率对冻结重塑黏土强度特性和蠕变特性的影响规律。分析冻结重塑黏土在不同负温、含水率及两种应力等级下的蠕变曲线,得到lg t-lgε曲线的线性关系,进而得出冻结重塑黏土分数阶蠕变模型相关参数与温度、含水率的函数关系。对比分数阶冻土蠕变模型试验值与计算值,发现该模型能够很好地反映冻土在不同应力等级下其蠕变随温度和含水率的变化规律,对指导寒区冻土工程设计与施工具有重要意义。

一类分数阶q-差分方程广义反周期边值问题

考虑一类非线性Caputo型分数阶q-差分方程的广义反周期边值问题,用Banach不动点定理给出该广义反周期边值问题解的存在唯一性结果,并给出一个应用实例.

分数阶Rayleigh-Duffing系统的主共振

利用多尺度法研究了谐波激励下分数阶Rayleigh-Duffing系统的主共振。首先,利用多尺度法得到系统的一次近似解析解,通过数值仿真发现解析解与数值解吻合较好,验证了近似解析解的准确性;然后,建立了稳态解的幅频方程及相频方程,基于Lyapunov稳定性理论得到了稳态解的稳定性条件;最后,通过数值仿真并结合幅频曲线,分析发现非线性刚度系数、线性阻尼系数以及分数阶阶次等参数对系统动力学特性有重要影响,这对此类系统的优化和控制有重要意义。

基于R-L型分数阶导数的动态解析逆Preisach模型

准确的变压器电磁暂态模型对保障电力变压器安全意义重大,其中更为重要的是对变压器铁芯部分的建模。然而,变压器铁芯的非线性磁滞特性及动态特性的模拟仍存在不精确,误差大等问题。为此,首先通过差分法改进静态解析正Preisach模型,构造一种更利于动态模型建立的静态解析逆Preisach模型;然后,在损耗统计理论、场分离技术以及分数阶导数理论的基础上,改进动态涡流场强分量,并与静态解析逆Preisach模型以及剩余损耗分量相结合,得到改进的动态解析逆Preisach磁滞模型,同时引入量子遗传算法对分数阶导数参数进行全局寻优。最后,将准确的动态解析逆Preisach模型在不同频率与不同最大磁密下与实验数据对比,结果表明,该模型的最大平均相对误差为5.857%,验证了该方法的有效性。

联合激励下分数阶非线性系统非平稳响应的半解析方法

确定性和随机激励联合作用下的非线性动力系统具有特殊的动力响应特征。本文提出一种用于计算联合激励下含分数阶阻尼的非线性系统非平稳响应的半解析方法。将系统响应表示为确定性响应和零均值随机响应之和,则原分数阶非线性运动微分方程可等效地化为分数阶确定性微分方程和随机子微分方程的组合。利用时变谐波平衡法处理非线性确定性微分方程,利用统计线性化处理非线性随机子微分方程。对于后者,结合Prony‐SS算法和Laplace变换得到其分数阶等效线性方程的半解析解。联立得到的相关耦合方程,通过数值算法迭代求解响应未知量。蒙特卡罗模拟验证了此方法的适用性和精度。

含类分数阶Hukuhara导数集值积分微分方程的稳定性

讨论了一类特殊的集值积分微分方程的稳定性.通过类Lyapunov函数和比较原理,得到了一类特殊的方程解的等度稳定性、一致稳定性、等度渐近稳定性和严格稳定性准则.

基于平均法的余弦激励分数阶振子系统动力学分析

提出了一种求解余弦激励下分数阶振子系统位移响应的解析和数值算法。其中解析方法是用平均法来求出系统的稳态响应解和瞬态响应解,总位移响应解即为稳态解和瞬态解的总和。提出一种数值方法,利用Grunwald-Letnikov分数阶导数的定义将系统中的分数阶微分项进行离散化处理,降低了原系统阶数。在一般的周期激励下,系统的近似响应解可以采用傅里叶级数展开法和线性系统叠加原理得到。最后,利用数值模拟对所提方法的有效性和可行性进行了验证,并对分数阶阶次、线性阻尼系数和分数阶导数系数对系统稳态响应振幅和总位移响应的影响进行了分析。

具有积分边界条件的耦合φ-Hilfer分数阶微分系统解的存在性

为了拓展分数阶微分方程系统的相关理论,研究了一类具有积分边界条件的耦合φ-Hilfer分数阶微分系统。首先,将具有积分边界条件的耦合φ-Hilfer分数阶微分系统转化为积分系统;其次,定义合适的Banach乘积空间和范数,构造合适的积分算子,分别运用压缩映像原理和Kransnoselskii不动点定理得出耦合φ-Hilfer分数阶微分系统在积分边界条件下解的存在性结果;最后,通过列举实例说明所得结论的正确性。研究表明,积分边界条件下的耦合φ-Hilfer分数阶微分系统的解具有存在性。研究结论丰富了耦合分数阶微分系统理论可解性的相关理论,可为深入研究分数阶微分方程提供一定的理论参考。

力学系统的任意阶分数维梯度表示

梯度系统是一类重要的数学系统,其性质适用Lyapunov函数研究系统的平衡和稳定性.约束力学系统的稳定性研究具有重要应用价值.若约束力学系统可转化为梯度系统,则可利用梯度系统性质研究其稳定性.然而有些约束力学系统并没有梯度表示,如果可以将其拓展到分数阶情形,可为这类约束系统的稳定性研究提供新思路.目前关于约束力学系统的分数维梯度表示限于二阶梯度系统(分数阶导数的阶数α=2),对任意阶导数的梯度系统还未有报道,限制了其应用.不同以往限于力学系统的二阶分数维梯度表示,文章研究力学系统的一类新分数维梯度表示,即任意阶分数维梯度表示.首先建立系统的微分方程,进而给出了力学系统可以表示为任意阶(α为正整数或任意分数)的分数维梯度系统的条件及其任意阶分数维梯度形式,通常梯度系统和二阶分数维梯度系统是文章结果的特例,然后讨论结果的一般性,发现不同分数阶导数定义下同阶分数维梯度系统的阶数取值范围并不同.通过算例说明了结果的适用性.

Hilfer分数阶脉冲随机发展方程的平均原理

利用分数阶微积分理论、半群性质、不等式技巧和随机分析理论,建立了分数布朗运动驱动的Hilfer分数阶脉冲随机发展方程的平均原理,证明了原方程的适度解均方收敛于无脉冲平均方程的适度解,并通过实例说明了所得理论结果的适用性.

一类由变分不等式驱动的模糊分数阶微分包含系统解的存在性

考虑一类动态模糊系统,该系统由模糊Atangana-Baleanu分数阶微分包含和变分不等式组成,称为模糊分数阶微分变分不等式(FFDVI),它包括了模糊分数阶微分包含和变分不等式两个领域的研究,拓宽了模糊环境下的可研究问题,该模型在同一框架内捕获了模糊分数微分包含和分数微分变分不等式的期望特征.利用Krasnoselskii不动点定理,得到了FFDVI在某些温和条件下解的存在性.

一类时间分数阶反应扩散方程弱解的全局有界性

时间分数阶反应扩散方程是经典非局部反应扩散方程的推广.本文研究了一类时间分数阶反应扩散方程弱解的全局有界性.利用Alikhanov不等式和局部能量估计,本文构造了分数阶微分不等式,结合Mittag-Leffler函数的渐近性质证明了方程解的局部有界性,然后运用分数阶Duhamel公式及其性质对方程求解和放缩,从而将解的局部有界性扩展到全局有界性.本研究克服了已有Duhamel公式的计算量问题,为方程解的全局性的研究提供了新思路.