Existence of Nontrivial Solutions of A Nonlinear Volterra Integral Equation

Some new results on the existence of nonnegative nontrivial solutions of the nonlinear Volterra integral equation,u(x)= k(x,s)g(u(s))ds,(x≥0),are given and their applications are shown.

Diophantine方程x^3+5~3=2pqy^2的整数解

设p≡13(mod 24)为奇素数,q≡19(mod 24)为奇素数.运用同余的性质、Legendre符号的性质等得出了Diophantine方程x^3+5~3=2pqy^2无正整数解的一个充分条件.

关于Diophantine方程x^(d(n))+y^(φ(n))=z^(σ(n))

对于正整数n=2tpa11pa22…pakk,这里pi是奇素数,mi是正整数,i=1,2,…,k,2<p1<p2<…<pk,t是非负整数.设d(n),φ(n),σ(n)分别表示n的约数函数,Eu ler函数和约数和函数.给出了:n=2和3时,方程xd(n)+yφ(n)=zσ(n)正整数解的一般公式;并证明了ai(i=1,2,…,k)中至少有两个为奇数或存在i及奇素数p,使pi≡1(modp)且ai≡-1(modp)两种情形时,方程xd(n)+yφ(n)=zσ(n)没有正整数解.

关于Diophantine方程y^2=px(x^2+2)

对于Diophantine方程y2=px(x2+2),这里p为奇素数,证明了:当p=2593时,它有唯一的正整数解(x,y)=(72,31116).

关于Diophantine方程y^2=px(x^2+2)的一点注记

设p是奇素数,运用初等数论方法证明了:如果p=16k4+1,这里k为正奇数,则方程y2=px(x2+2)无正整数解(x,y)。

关于Diophantine方程xy-(x±1)~z=1

证明了方程xy-(x+1)z=1仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,1);方程xy-(x-1)z=1仅有正整数解(x,y,z)=(1,s,t),(2,1,t),(r,1,1)和(3,2,3),其中r,s,t为任意正整数且r≥3,这一结果推广和改进了文献[4]中的结论.

关于连续正整数Diophantine方程的正整数解

连续正整数Diophantine方程xn+(x+1)n+…+(x+h)n=(x+h+1)n的正整数解问题,是一个迄今为止尚未彻底解决的数论难题。目前已知的结果是:①当6≤n≤33时;②当n>3且为奇数时;③当34≤n≤200且为偶数时,该方程均无正整数解。采用多种素数模筛法证明了:当200<n≤250且为偶数时,该方程均无正整数解。这一结果推广和改进了已有的结论。

关于指数Diophantine方程a^x-b^y=2~z

考虑指数不定方程ax-by=2z,a,b为给定的两个不同的奇素数,主要结果为在一定条件下求出了它的全部正整数解,所用的方法仅限于取有限模,因此部分证实了Alex和Foster的猜测.

关于Diophantine方程x^3+11~3=Dy^2

设D是无平方因子且不能被3或6l+1之型素数整除的正整数,用初等方法讨论了Diophantine方程x 3+113=Dy2整数解的情况,并且给出x<104时方程x3+113=Dy2的所有整数解.

关于Diophantine方程(ax^3+1)/(ax+1)=f(y)

设a是大于1的正整数,f(z)是整值函数.本文证明了:方程(ax3+1)/(ax+1)=f(y)没有适合x>1的整数解(x,y).

关于Diophantine方程y^2-k=x^3的算术级数整数解

讨论了由Monhanty提出的关于不定方程y^2-k=x^3的算术级数整数解,改进了一些结果,推翻了Monhanty提出的一些猜想.

求解Diophantine方程x^2+y^3=z^4的一种简便方法

本文通过对Diophantioe方程x^2-y^2=4z^3解的存在性的讨论,给出了求解Diophaotine方程x^2+y^2=z^4的一种简便可行的方法。

关于一类不定方程的正整数解数

证明了正整数n分为m部分互不相同的无序分拆数Q(n,m)是不定方程x1+2x2+…+mxm=n的正整数解数;利用将正整数n分为m部分的无序分拆数P(n,m)与Q(n,m)的关系,以及已有的P(n,4)的显表达式和关于不定方程x1+2x2+…+5x5=n的非负整数解数A(n,5)的显表达式,给出了Q(n,4)与Q(n,5)的显式表达式.从而给出了不定方程x1+2x2+3x3+4x4=n和x1+2x2+3x3+4x4+5x5=n的正整数解数的显表达式.

关于丢番图方程 x^3 ± 512 = Dy^2

用初等方法研究了丢番图方程ｘ３±５１２＝Ｄｙ２，并给出了无非平凡整数解的充分性条件．

关于丢番图方程x^3±3~9＝Dy^2

给出了方程ｘ~３±３~９＝Ｄｙ~２的全部非平凡整数解，其中Ｄ＞０，无平方因子，且不能被６ｋ＋１型的素数整除。

关于丢番图方程x^3±729＝Dy^2

给出了方程ｘ３±７２９＝Ｄｙ２的全部非平凡整数解。其中Ｄ＞０，无平方因子，且不能被６ｋ＋１型的素数整除。

关于丢番图方程x￣3±125＝Dy￣2

给出了方程ｘ￣３±１２５＝Ｄｙ￣２的全部非平凡整数解．其中Ｄ＞０，无平方因子，且不能被３或６ｌ＋１型的素数整除．

关于丢番图方程x^3±64＝3Dy^2

给出了方程ｘ~３±６４＝３Ｄｙ~２无非平凡整数解的充分性条件。

关于一类丢番图方程x^3±(5~k)~3=Dy^2

给出了一类不定方程ｘ３±（５ｋ）３＝Ｄｙ２的全部非平凡整数解．其中Ｄ＞０，无平方因子，且不能被３或６ｌ＋１型的素数整除．

关于不定方程x^2-3y^4=286

利用一种初等的证明方法,对不定方程x2-3y4=286的正整数解进行了研究。证明过程中仅涉及到初等的数论知识,就是运用递归数列,同余式和平方剩余的方法。首先利用Pell方程的解的性质把不定方程x2-3y4=286的解转化为由4个非结合类给出;对其每一种情况都利用递归数列,同余式和平方剩余的相关知识对其是否有正整数解进行证明,如果有正整数解并进行求解;最后得出该不定方程x2-3y4=286仅有正整数解(x,y)=(17,1),(23,3)。