辛算法的分类与发展

辛算法作为研究哈密顿系统长期定性演化的最佳积分工具,自问世以来就受到了很大的关注。通过对哈密顿函数的截断误差分析,可以从不同角度构造出较高精度的辛算法,也可以通过引入正规化技术实现自动调整积分步长和改善数值稳定性。从辛算法的表现形式可以将它分为显式和隐式两种。当哈密顿系统能够分解为几个可积部分且每部分的解能用时间显函数来表示时,可以构造显式算法。显式算法有非力梯度显式辛算法、力梯度辛算法、辛校正、类高阶辛算法四种。当哈密顿系统变量不能分离时,适合应用隐式辛算法和扩充相空间对称算法求解。分别对这些算法的构造方法及其适用的物理模型进行归纳对比,分析了各种辛算法的优劣性和发展趋势,对如何选择辛算法高效高精度地解决实际问题提供了一定的理论和数值计算依据。

显式类辛算法在双自转系外行星后牛顿轨道中的应用

系外行星的长期动力学演化需要可靠的数值计算方法。辛算法具有保能量、保结构的特点,是研究哈密顿系统长期演化的最佳积分工具。双自转系外行星后牛顿哈密顿系统中坐标和动量不可分离,显式辛算法不能直接应用。利用相空间扩充构造显式类辛算法不会引入人工耗散,具有保能量的优势。主要探讨四阶中点置换相空间扩充显式类辛算法在双自转系外行星后牛顿轨道中的数值性能。结果表明,中点置换相空间扩充显式类辛算法,在顺行非近共面轨道的算法精度与RKF8(9)算法精度差一个量级;在逆行轨道和近圆轨道的算法精度与RKF8(9)算法精度相当;在偏心率小于0.9的轨道表现出高于同阶对比算法的算法精度。除此之外,该算法具有良好的稳定性,计算效率约是RKF8(9)的3倍。