GCD封闭集上幂矩阵行列式的整除性

设S={x_(1),…,xn}为n个不同正整数构成的集合,若对任意不超过n的正整数i,j,均有gcd(x_(i),x_(j))∈S,则称S是GCD封闭集.对于元素x,y∈S(y<x),若由y|z|x和z∈S可推出z∈{y,x},则称y是x的一个最大型因子.令GS(x)表示x在S中所有最大型因子构成的集合.设a和b是正整数,f是算术函数.以(f^(a)(S))(对应地(f^(a)[S]))表示一个n阶方阵,其第i行第j列元素为f^(a)(gcd(x_(j),x_(j)))(对应地f^(a)(lcm(x_(j),x_(j)))).令|T|表示有限集T的基数.在本文中,当a|b,S为GCD封闭集且maxx∈S{|GS(x)|}≤2时,我们建立了几个关于幂矩阵(f^(a)(S))与(f^(b)(S)),(f^(a)(S))与(f^(b)[S]),(f^(a)[S])与(f^(b)[S])的行列式之间的整除性结果.

六元gcd封闭集上Smith矩阵的整除性

我们给出了关于六元gcd封闭集S的充分必要条件,使得在整数矩阵环M_6(Z)中,定义在S上的e次幂GCD矩阵(S^e)整除e次幂LCM矩阵[S^e].这部分解决了Hong在2002年提出的一个公开问题.

使得幂GCD阵(S^e)整除幂LCM矩阵[S^e]的四元gcd封闭集S的一个刻画(英文)

Hong在2002年证明了如下结果:若S为gcd封闭集且|S|3,则在|S|阶整数矩阵环M|S|(Z)中,GCD矩阵(S)整除LCM矩阵[S].设e 1为给定的整数.在本文中,我们给出了关于四元gcd封闭集S的充分必要条件,使得在环M4(Z)中,定义在S上的e次幂GCD矩阵(Se)整除e次幂LCM矩阵[Se].这部分解决了Hong在2002年提出的一个公开问题.

GCD封闭集上倒数幂GCD矩阵的非奇异性

设α为正整数,S={x_(1),…,x_(n)}为n个不同的正整数构成的集合。若对任意1≤i,j≤n,均有gcd(x_(i),x_(j))∈S,则称S是GCD封闭集。如果一个n阶方阵的第i行第j列元素为1/(gcd(x_(i),x_(j)))^(α),那么称它是定义在集合S上的α次倒数幂GCD矩阵。本文给出了某些特殊类型的GCD封闭集S上α次倒数幂GCD矩阵的行列式的计算公式,并且得到了有关其非奇异性的一些结果。

关于幂LCM矩阵非奇异性的洪猜想的注记(英文)

作者研究了关于幂LCM矩阵非奇异性的两个洪绍方猜想,得到了几个非奇异性定理.

关于LCM方程的李-曹猜想的注记

在研究Hong关于定义在gcd封闭集上的幂LCM矩阵[Se](e为正整数)的非奇异性的一个猜想时,李和曹研究了如下的不定方程(称为LCM方程):.他们首先证明了当ω(y)<4时,方程无解,这里y=lcm[y1,y2,y3,y4],ω(y)表示y的不同素因子的个数;然后他们给出ω(y)=4且y=p21p22p32p42m时,方程有2次幂整数解的必要条件,这里pi为不同素数,m≥1;根据这些必要条件他们接着验证了方程当y≤1 334 025时没有2次幂整数解;最后他们提出猜想:若n≤9,则定义在gcd封闭集S={x1,…,xn}上的平方LCM矩阵[S2]是非奇异的,即LCM方程没有2次幂整数解.本文作者推广了李-曹关于LCM方程有2次幂整数解的研究:首先给出了当ω(y)=4且y=p21m1p22m2p23m3p24m4时,方程有2次幂整数解的必要条件,并给出了当ω(y)≥4时,方程解的表达式(如果存在的话),这里pi为不同素数,mi≥1;然后根据这些必要条件在计算机上验证了方程当y≤260 620 460 100时没有2次幂整数解,进一步支持了李-曹猜想.