两类高次不定方程正整数解的讨论

本研究讨论了两类典型的高次不定方程求解问题,首先利用整除的性质、不定方程组求解等方法,对不定方程Mx(x+1)(x+2)(x+3)=Ny(y+1)(y+2)(y+3),在M=5^(2k),N=1时的正整数解进行研究,证明了这个不定方程不存在正整数解;其次利用递归序列、同余、Pell方程解的性质、勒让德符号等方法证明了不定方程x^(3)±1=Dy^(2)在D=1547时的情形,不定方程x^(3)-1=1547y^(2)仅有平凡整数解(1,0);不定方程x^(3)+1=1547y^(2)仅有平凡整数解(-1,0)。

关于不定方程x^3±1=2py^2

设p是6k+1型的奇素数,运用初等方法得出了当p≡1(mod 6)为素数时不定方程x3±1=2py2无正整数解的充分条件.

关于不定方程x^3-1=py^2

设D是6k+1型的奇素数,运用Pell方程Dx2-3y2=1的最小解、同余式、平方剩余、勒让德符号的性质等初等方法得出了当D=3n(n+1)+1(n∈N)时Diophantine方程x3-1=py2(P=D,2D,3D)无正整数解的充分条件.

关于不定方程x^3-1=Dy^2

设D是奇素数,运用初等数论的方法给出了在D=3(8m+k)(8m+k+1)+1(m,k∈N,k≤7)的情形下不定方程x3-1=Dy2无正整数解的充分条件。

关于不定方程x^3±27=py^2

利用初等方法得出了:p=12t2+1(t∈N+)为奇素数时,不定方程x3+27=py2无正整数解;p=12r2+1(t≡0(mod2))为奇素数时,不定方程x3-27=py2无正整数解.

关于不定方程x^3±5~3=3Dy^2

运用同余式、平方剩余和勒让德符号的性质等得出了不定方程x3±53=3Dy2无正整数解的2个充分条件,从而推进了该类不定方程的研究.

三变元欧拉函数方程φ(xyz)=φ(x)(φ(y)+φ(z))的可解性

利用初等数学方法和欧拉函数积性等相关性质,在z为素数的条件下,讨论了三变元欧拉函数方程φ(xyz)=φ(x)(φ(y)+φ(z))的可解性问题,并求出当x≤100时方程的所有正整数解,其中φ(n)是欧拉函数,n为正整数。文章所采用的求解方法具有一定的普遍适用性,可用于求解类似的欧拉函数方程。

常生成函数在解不定方程中的应用

文章利用常生成函数来解决不定方程解的计数问题,从而为一些组合问题的计数提供了方便。

关于不定方程x^3+1=Dy^2

设D是奇素数,运用初等数论的方法给出了在D=3(24k+4)(24k+5)+1(k∈N)的情形下不定方程x3+1=Dy2无正整数解的一个充分条件.

一类不定方程解的讨论

设n为正整数,本文利用整数的性质与初等的方法讨论了不定方程b2x2+dy2=cn(其中b,c,d∈Z-{0},且(b,d)=1)恒有正整数解的条件。

关于不定方程x^3+4~3=Py^2

设P为奇素数,运用初等方法得出了不定方程x^3+4~3=Py^2无正整数解的一个充分条件。

关于不定方程x^3±64=Dy^2的整数解

利用初等方法得出了:D≡1,19(mod24)为奇素数时,不定方程x3±64=Dy2无x≠0(mod2)的正整数解.

关于不定方程x^3+1=py^2

设p是奇素数,t是非负整数,s是不超过7的非负整数,在p=3(8t+s)(8t+s+1)+1的情形下,运用初等数论的方法给出了不定方程x3+1=py2无正整数解的充分条件.

求一类不定方程x^(2)+y^(2)=z^(m)的正整数解

应用勾股数原理给出了求不定方程x^(2)+y^(2)=z^(2^(n))正整数解的一种迭代计算法,通过先导出满足该方程的迭代计算方法,然后根据求解需要赋予某初始值代入迭代公式计算,从而求得满足该不定方程的某一组正整数解.同时应用本方法进一步解决了一类不定方程x^(2)+y^(2)=z^(m)(m为正整数)的求解问题.

不定方程x^3±1=Dy^2解的研究

运用初等数论的方法给出了不定方程x3±1=Dy2(D是无平方因子的正奇素数)无正整数解的两个充分条件.

关于不定方程z^2+2(2xy)~2=(x^2-y^2+2xy)~2

目的在于简化一类不定方程特解的求法.方法利用无穷递降法.结果给出了不定方程z2+2(2xy)2=(x2-y2+2xy)2的正整数解.结论不定方程z2+2(2xy)2=(x2-y2+2xy)2有正整数解(x,y,z)=(3,2,1)及(x,y,z)=(1469,84,2372159).

关于不定方程(x(x+1))/2=y^2

本文利用Pell方程,给出了不定方程(x(x+1))/2=y^2的一切正整数解.

对《不定方程x^2+y^2=z^2的若干推广与统一解法》一文的商榷

指出《不定方程x^2+y^2=z^2的若干推广与统一解法》一文的两处错误,给出两个反例,并将原文的结论予以修正.

关于不定方程(x^p-1)(x-1)=qy

设p,q均为奇素数,在q=2p+1的情形下,运用初等数论的方法给出了不定方程xp-1/x-1=qy有正整数解的充分条件.

关于不定方程(1~2+2~2+…+n^2)/n=m^2

本文利用Pell方程,给出了不定方程(1~2+2~2+…+n^2)/n=m^2的一切正整数解.