Diophantine方程x^3+5~3=2pqy^2的整数解

设p≡13(mod 24)为奇素数,q≡19(mod 24)为奇素数.运用同余的性质、Legendre符号的性质等得出了Diophantine方程x^3+5~3=2pqy^2无正整数解的一个充分条件.

关于Diophantine方程x^(d(n))+y^(φ(n))=z^(σ(n))

对于正整数n=2tpa11pa22…pakk,这里pi是奇素数,mi是正整数,i=1,2,…,k,2<p1<p2<…<pk,t是非负整数.设d(n),φ(n),σ(n)分别表示n的约数函数,Eu ler函数和约数和函数.给出了:n=2和3时,方程xd(n)+yφ(n)=zσ(n)正整数解的一般公式;并证明了ai(i=1,2,…,k)中至少有两个为奇数或存在i及奇素数p,使pi≡1(modp)且ai≡-1(modp)两种情形时,方程xd(n)+yφ(n)=zσ(n)没有正整数解.

关于Diophantine方程y^2=px(x^2+2)

对于Diophantine方程y2=px(x2+2),这里p为奇素数,证明了:当p=2593时,它有唯一的正整数解(x,y)=(72,31116).

关于Diophantine方程y^2=px(x^2+2)的一点注记

设p是奇素数,运用初等数论方法证明了:如果p=16k4+1,这里k为正奇数,则方程y2=px(x2+2)无正整数解(x,y)。

关于Diophantine方程xy-(x±1)~z=1

证明了方程xy-(x+1)z=1仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,1);方程xy-(x-1)z=1仅有正整数解(x,y,z)=(1,s,t),(2,1,t),(r,1,1)和(3,2,3),其中r,s,t为任意正整数且r≥3,这一结果推广和改进了文献[4]中的结论.

关于连续正整数Diophantine方程的正整数解

连续正整数Diophantine方程xn+(x+1)n+…+(x+h)n=(x+h+1)n的正整数解问题,是一个迄今为止尚未彻底解决的数论难题。目前已知的结果是:①当6≤n≤33时;②当n>3且为奇数时;③当34≤n≤200且为偶数时,该方程均无正整数解。采用多种素数模筛法证明了:当200<n≤250且为偶数时,该方程均无正整数解。这一结果推广和改进了已有的结论。

关于指数Diophantine方程a^x-b^y=2~z

考虑指数不定方程ax-by=2z,a,b为给定的两个不同的奇素数,主要结果为在一定条件下求出了它的全部正整数解,所用的方法仅限于取有限模,因此部分证实了Alex和Foster的猜测.

关于Diophantine方程(ax^3+1)/(ax+1)=f(y)

设a是大于1的正整数,f(z)是整值函数.本文证明了:方程(ax3+1)/(ax+1)=f(y)没有适合x>1的整数解(x,y).

关于Diophantine方程y^2-k=x^3的算术级数整数解

讨论了由Monhanty提出的关于不定方程y^2-k=x^3的算术级数整数解,改进了一些结果,推翻了Monhanty提出的一些猜想.

求解Diophantine方程x^2+y^3=z^4的一种简便方法

本文通过对Diophantioe方程x^2-y^2=4z^3解的存在性的讨论,给出了求解Diophaotine方程x^2+y^2=z^4的一种简便可行的方法。

Small Solutions of Quadratic Equations with Prime Variables in Arithmetic Progressions

A necessary and sufficient solvable condition for diagonal quadratic equation with prime variables in arithmetic progressions is given, and the best qualitative bound for small solutions of the equation is obtained,

关于一类不定方程的正整数解数

证明了正整数n分为m部分互不相同的无序分拆数Q(n,m)是不定方程x1+2x2+…+mxm=n的正整数解数;利用将正整数n分为m部分的无序分拆数P(n,m)与Q(n,m)的关系,以及已有的P(n,4)的显表达式和关于不定方程x1+2x2+…+5x5=n的非负整数解数A(n,5)的显表达式,给出了Q(n,4)与Q(n,5)的显式表达式.从而给出了不定方程x1+2x2+3x3+4x4=n和x1+2x2+3x3+4x4+5x5=n的正整数解数的显表达式.

关于丢番图方程x^3±64＝3Dy^2

给出了方程ｘ~３±６４＝３Ｄｙ~２无非平凡整数解的充分性条件。

关于不定方程x^2-3y^4=286

利用一种初等的证明方法,对不定方程x2-3y4=286的正整数解进行了研究。证明过程中仅涉及到初等的数论知识,就是运用递归数列,同余式和平方剩余的方法。首先利用Pell方程的解的性质把不定方程x2-3y4=286的解转化为由4个非结合类给出;对其每一种情况都利用递归数列,同余式和平方剩余的相关知识对其是否有正整数解进行证明,如果有正整数解并进行求解;最后得出该不定方程x2-3y4=286仅有正整数解(x,y)=(17,1),(23,3)。

关于不定方程x^2+4=y^7的解

利用代数数论中的同余以及整环的一些性质,证明不定方程x2+4=y7无整数解。推进了该类不定方程的研究。

和整树相关的一个联立不定方程

文[3]在研究直径为4的整树时提出了求1个联立不定方程的全部解.利用二次方程y2-(k2-1)x2=5-k2(k给定)的解(从算法上讲,容易求出)给出了这一联立方程的全部解.

关于不定方程y(y+1)(y+2)(y+3)=4p^(2k)x(x+1)(x+2)(x+3)

用初等方法证明了不定方程y(y+1)(y+2)(y+3)=nx(x+1)(x+2)(x+3)在n=4p2k(p为奇素数,k为正整数)时无正整数解(x,y).

关于丢番图方程x^3±64=Dy^2

用初等方法研究了丢番图方程ｘ￣３±６４＝Ｄｙ￣２，并给出了无非平凡整数解的充分性条件．

关于丢番图方程x(x+1)(x+2)=2py^n

设p为奇素数.证明了:①若整数n>2,则丢番图方程x(x+1)(x+2)=2pyn仅有正整数解(p,x,y)=(3,1,1);②若整数n=2,则丢番图方程x(x+1)(x+2)=2pyn在p■1(mod 8)时仅有正整数解(p,x,y)=(3,1,1),(3,2,2),(3,48,140),(11,98,210);在p≡1(mod 8)时的正整数解为(p,xn,yn)=(p,16t2n,4untnsn),这里p,un,tn,sn满足sn+2=6sn+1-sn,s1=3,s2=17,tn+2=6tn+1-tn,t1=1,t2=6及pu2n=16t2n+1.

关于有限域F_p上的对角方程

本文证明了以下主要结果:对于丢番图方程除开x_j=0(j=1,…,n)外,无其他的整数解,这里p是一个奇素数,满足p=1(mod 3)或p=1(mod 4)