THE GOLDBACH-VINOGRDOV THEOREM WITH THREE PRIMES IN A THIN SUBSET

It is proved constructively that there exists a thin subset S of primes, satisfying for some absolute constant c＞0, such that every sufficiently large odd integer N can beLet r be prime, and hi positive integers with (bj, r) = 1,j = 1, 2, 3. It is also proved that, for almost all prime moduli r＜ log- N, every sufficiently large odd integer N = b1 + b2 +ba(modr) can be represented as where c ＞ 0 is an absolute constant.

一类特殊的算术级数存在性

已有结论表明:素数集中存在任意长的算术级数.且对任意正整数k,任何具有正密度的素数子集都含一k项算术级数.考虑4h+1型素数(h为正整数),显然可得结论:一定存在k项算术级数,其中每项都能表成m2+n2的形式(m,n为整数).当k=4时,有无穷多组这种类型的4项算术级数(n-1)2+(n-8)2,(n-7)2+(n+4)2,(n+7)2+(n-4)2,(n+1)2+(n+8)2.注意到82+12=72+42,为了回答:是否存在互异正整数a,b,c,d满足a2+b2=c2+d2,使得对任何正整数n,8个数(n+a)2+(n+b)2,(n+a)2+(n-b)2,(n-a)2+(n+b)2,(n-a)2+(n-b)2,(n+c)2+(n+d)2,(n+c)2+(n-d)2,(n-c)2+(n+d)2,(n-c)2+(n-d)2中总存在5项算术级数这一问题,本文采用组合方法,证明了不存在这样的正整数a,b,c,d.同时提出了3个猜想.

算术数列中三个或多个素数的和

作为圆法的应用,考虑算术数列中的素变数方程p1+p2+…+pk=N,pj≡gj(modh),j=1,2,…,k,∑1≤j≤kgj≡N(modh),k≥3,利用FRIEDLANDER和GOLDSTON的方法给出了方程解数的渐近公式:设k≥3,Θ=sup{β:L(β+iγ)=0},ε>0,h是给定的正整数,则∑p1+p2+…+pk=N,pj≤N,pj≡gj(modh),1≤j≤k(lnp1)(lnp2).….(lnpk)=((k-1)!)-1Nk-1G(k,N)+O(Nk-2+Θ+ε+Nηk+ε),其中G(k,N)是奇异级数,η3=9/5,η4=13/5,ηk=0(k≥5).

算术数列中三素数定理的实效证明

设ｋ是一固定的正整数，Ｎ是充分大的奇数．本文证明了。当时，每一个大奇数Ｎ≡ｌ１＋ｌ２＋ｌ３（ｍｏｄｋ）都可以表示成为Ｎ≡Ｐ１＋Ｐ２＋Ｐ３的形式，其中Ｐｊ≡ｌｊ（ｍｏｄｋ）（１≤ｊ≤３）．

一类特殊的算术级数存在性的探讨

Heath-Brown具体构造出无穷多组4项算术级数,其中每项均能表示为两个正整数的平方和.本文回答了陈永高教授提出的一个更一般的问题.

关于算术数列中三个或多个素数的和

作为圆法的一个应用，考虑算术数列中的素变数方程P1＋P2＋…＋Pk=N，Pi≡gi（modh），j=1，2，…，k，∑1≤j≤kgj≡N（modh），k≥3，给出了方程在大模情况下解的个数的渐近公式，即设≥3，H=sup{β：L（β＋iγ,x）=0},ε〉0,1≤h≤N^δ,0〈δ〈1,则∑p1＋p2＋…＋pk=N/pj≤N,pj≡gj（modu）,1≤j≤k（logp1）（logp2）…（loghk）=1/（k-1）!Nk-1y（k,N）＋O（Nk-2＋H＋c）＋O（Nηk＋c）＋O（Nk-2＋λ＋c）,其中η3=5/9,η4=14/5和ηk=0（k≥5）,λ={β^-,若L函数存在例外零点β^-,/0,若L函数不存在例外零点，y（k,N）=h/φ（h）^k∏p×h,p×N（1＋（-1）^k＋1/（p-1）^k）∏p×h,p｜N（1＋（-1）^k/（p-1）^k-1）.

表大奇数为三个取自算术级数的素数之和

解决了三素数定理推广到素数取自算术级数的问题．

关于a_(1)^(2)+p_(1)^(2)=p_(2)^(2)+p_(3)^(2)≤x的个数问题

记r_(1)(n)为可以表示成一个正整数与一个素数的平方和的正整数n的个数,记r_(2)(n)为可以表示成两个素数平方和的正整数n的个数.用S_(1,2)(x)表示均值∑n≤xr_(1)(n)r_(2)(n).Sedunova计算得出x/log^(2)xS_(1,2)(x)x/log^(2)x(loglogx)^(2).利用Brun筛法进一步完善此结果.证明当x→∞时,有S_(1,2)(x)■x/log^(2)x.