Fulton’s猜想的另一种证法

讨论了带有耦合边界条件的自伴Sturm-Liouville问题.作为已有解决下标问题简单方法的应用,证明了Fulton’s猜想是正确的.

关于2-中心蜘蛛树的Erdös-Sós猜想

Erdös-Sós猜想:如果图G平均度大于k-2,则G包含任一k个顶点的数.蜘蛛树是指最多只有一个点度超过2的树.范更华、洪艳梅和刘清海证明了该猜想对所有蜘蛛树成立.本文我们定义2中心蜘蛛树为至多两个相邻点度超过2的树并且证明了Erdös-Sós猜想对腿长至多为2的2中心蜘蛛树都成立.

Landau误差项和Sitaramachandrarao猜想的研究

本文首先研究了Sitaramachandrarao猜想,然后分别改进了Sitaramachandr-arao引入的误差项E_1(x)和Landau误差项E_0(x)的算术均值和积分均值估计。

稠密正规语言的S.Y猜想的一些等价刻划

一个语言称为正规的如果它可被一台有限自动机识别 .一个语言称为稠密的如果每个字都是该语言中某个字的一个小字 .一个非空字称为本原的 ,如果此字不是其他任一字的幂 ,否则称此非空字为非本原字 .Shyr和 Yu在 [3]中给出如下猜想 :每个稠密正规语言都包含一个非本原字 .如果能给出 S.Y猜想在半群理论及码论中的等价陈述 ,则可把稠密正规语言的问题归结为半群理论及码论中的问题 ,从而为解决 S.Y猜想提供了更多的途径 .

关于丢番图方程x(x+1)(x+2)=2py^2

设p是奇素数,给出了方程x(x+1)(x+2)=2py2当p<17时的所有正整数解,并且讨论了当x为偶数时方程解的情况.

关于丢番图方程x(x+1)(x+2)=2py^3

设p是奇素数,证明了方程x(x+1)(x+2)=2py3仅有正整数解(p,x,y)=(3,1,1).

关于Diophantine方程2~yn^(y-x)=(b+2)~x-b^x

设b是大于3的正奇数。运用初等方法以及同余性质讨论了不定方程2yny-x=(b+2)x-bx的正整数解(x,y,n)的存在性问题,对于b7(mod8)的情况给出了该方程的全部解,从而部分地解决了该方程的可解性问题。

关于Diophantine方程（91n）x＋（4140n）y=（4141n）z

1956年Jes'manowícz猜测Diophantine方程(na)x+(nb)y=(nc)z仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,2),其中a,b,c是两两互素的正整数且满足a2+b2=c2。利用初等方法证明了对任意的正整数n,当a=7·13,b=22·32·5·23,c=41·101时,Jes'manowícz猜想成立。

关于丢番图方程x2=p2b+2a2t-pb+2at+r+1

本文利用同余理论、因式分解、整除性理论等初等方法并结合二元四次不定方程解的性质讨论了与马少麟猜想相关的一类丢番图方程,证明了:如果a>1是奇数,p是素数,那么方程x^2=p^2b+2a^2t-p^b+2^at+r+1,x∈N^+,b,t,r∈N,t≥r有解的充分必要条件是p=2,t=r=1或p=2,t≥r=0,且求出了它的所有解。

关于3元一致U(s,q)集族的最大基数

假设n、k、s和q为正整数,n>q≥k,sk>q,s≥2.给定一个集族F?(k[n]),如果对于任意F1,…,Fs∈F,都有|F1∪…∪Fs|≤q,则称F是一个U(s,q)集族.这个概念由Frankl和Kupavskii(2021)引入.它是两类常见集族的推广:(1)t-交族;(2)最多有s个成员互不相交的集族.Frankl和Kupavskii(2021)提出如下问题:决定U(s,q)集族的最大基数.本文充分研究k=3的情形,并且在s≥s0(t)时,确定U(s,2s+t)集族的最大基数.特别地,本文证明Frankl和Kupavskii(2021)提出的一个关于3元一致U(s,q)集族的最大基数的猜想.

稀疏超图:从理论到应用

给定正整数r、e和v,如果某个r-一致超图的任意e条不同边的并都包含至少v+1个顶点,则称其是(v, e)-自由(free)或者(v, e)-稀疏的.稀疏超图的概念由Brown、Erd?s和Sós在20世纪70年代提出.目前,研究给定顶点数的稀疏超图所能包含最大边数的上下界已成为极值组合学研究领域内的核心问题之一.该问题的研究方法丰富多变,涉及组合、概率、代数和数论等多个领域.本文介绍Brown、Erd?os和S′os关于稀疏超图的两个重要猜想的最新研究进展以及稀疏超图在极值组合与信息科学中的若干应用,包括朱烈曾作出突出贡献的完美哈希(Hash)矩阵、可分哈希矩阵等几类信息安全中的研究问题.此外,本文在某些参数下给出完美哈希矩阵与求并-自由(union-free)超图的新构造.本文的构造改进了相应问题的已知最优下界.

3维欧氏空间中确定不同距离的最优点集

本文拓展Erdős和Fishburn的工作,研究在3维欧氏空间中确定不同距离的有限点集结构.令f(k)表示可以在3维欧氏空间中放置点的最大数目,使得这些点恰好确定k个不同的距离.我们证明了f(1)=4,f(2)=6和f(3)≥12,并给出了k=1,2,3时对应的最优点集构型.